দ্বিপদী ধারা

দ্বিপদী ধারা হল গণিতে বহুপদীর একটি সাধারণীকরণ যা একটি দ্বিপদ সূত্রের অভিব্যক্তি থেকে আসে। যেমন: $(1+x{)}^n$ অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য $n$ . বিশেষত, দ্বিপদী ধারা হল ফাংশনের জন্য ম্যাকলারিন ধারা $f(x)=(1+x{)}^{\alpha }$, যেখানে $\alpha \in ℂ$ এবং $|x|<1$ . স্পষ্টভাবে,

যেখানে ( টেমপ্লেট:সমীকরণ নোট ) এর ডানদিকের পাওয়ার ধারাকে (সাধারণকৃত) দ্বিপদ সহগগুলির মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}):=\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}.$

মনে রাখবেন, যদি টেমপ্লেট:Mvar একটি অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা টেমপ্লেট:Mvar হয় তবে টেমপ্লেট:Math পদ এবং ধারার পরবর্তী সমস্ত পদ টেমপ্লেট:Math, যেহেতু প্রতিটিতে টেমপ্লেট:Math এর একটি গুণনীয়ক রয়েছে। সুতরাং, এই ক্ষেত্রে, ধারটি সসীম এবং বীজগাণিতিক দ্বিপদী সূত্র দেয়।

সংকোচন

সংকোচনের শর্ত

যে (1) সংকুচিত হবে কিনা তা নির্ভর করে জটিল সংখ্যা α এবং টেমপ্লেট:Tmath এর মানের উপর। আরও সঠিকভাবে:

1. যদি |টেমপ্লেট:Tmath| < 1 হয়, তবে ধারাটি যেকোনো জটিল সংখ্যা α এর জন্য সম্পূর্ণভাবে সংকুচিত হবে।

2. যদি |টেমপ্লেট:Tmath| = 1 হয়, তবে ধারাটি সম্পূর্ণভাবে সংকুচিত হবে কেবলমাত্র যদি এবং কেবলমাত্র যদি Re(α) > 0 অথবা α = 0, যেখানে Re(α) α এর বাস্তব অংশকে নির্দেশ করে।

3. যদি |টেমপ্লেট:Tmath| = 1 এবং টেমপ্লেট:Tmath ≠ −1 হয়, তবে ধারাটি সংকুচিত হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি Re(α) > −1।

4. যদি টেমপ্লেট:Tmath = −1 হয়, তবে ধারাটি সংকুচিত হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি Re(α) > 0 অথবা α = 0।

5. যদি |টেমপ্লেট:Tmath| > 1 হয়, তবে ধারাটি বিভ্রান্ত হবে, যদি না α একটি অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা হয়, এই ক্ষেত্রে ধারাটি একটি সসীম যোগফল হবে।

বিশেষ করে, যদি α একটি অ-ঋণাত্নক পূর্ণসংখ্যা না হয়, তবে সংকোচনের বৃত্তের সীমানায়, |টেমপ্লেট:Tmath| = 1, অবস্থাটি নিম্নরূপে সারাংশ করা হয়:

• যদি Re(α) > 0 হয়, তবে ধারাটি সম্পূর্ণভাবে সংকুচিত হবে।
• যদি −1 < Re(α) ≤ 0 হয়, তবে ধারাটি শর্তসাপেক্ষে সংকুচিত হবে যদি টেমপ্লেট:Tmath ≠ −1 এবং টেমপ্লেট:Tmath = −1 হলে ধারাটি ত্রুটিপূর্ণ হবে।
• যদি Re(α) ≤ −1 হয়, তবে ধারাটি ত্রুটিপূর্ণ হবে।

পরিচায়ক গুলো প্রমাণে ব্যবহার

নিম্নলিখিতগুলি যেকোনো জটিল সংখ্যা α এর জন্য প্রযোজ্য:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{0})=1,$

টেমপ্লেট:NumBlk টেমপ্লেট:NumBlk যদি α একটি অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা না হয় (এই ক্ষেত্রে বাইনোমিয়াল গুণাঙ্কগুলি শূন্য হয়ে যায় যেহেতু k α এর চেয়ে বড় হয়), তবে বাইনোমিয়াল গুণাঙ্কগুলির জন্য একটি উপকারী অমসৃণ সম্পর্ক হল, ল্যান্ডাউ নোটেশনে: টেমপ্লেট:NumBlk

এটি আসলে ইউলারের গামা ফাংশনের সংজ্ঞার সমান:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{k!k^z}{z(z+1)\cdots (z+k)},$

এবং তাৎক্ষণিকভাবে নিচের粗 সীমাগুলি প্রমাণিত হয়:টেমপ্লেট:NumBlk যেখানে টেমপ্লেট:Mvar এবং টেমপ্লেট:Mvar কিছু ধনাত্মক ধ্রুবক।

সাধারণীকৃত বাইনোমিয়াল গুণাঙ্কের জন্য সূত্র (2) পুনর্লিখন করা যেতে পারে: টেমপ্লেট:NumBlk

প্রমাণ

(i) এবং (v) প্রমাণ করতে, অনুপাত পরীক্ষা প্রয়োগ করুন এবং উপরের সূত্র (2) ব্যবহার করে দেখান যে, যখন $\alpha$ একটি অ-ঋণাত্নক পূর্ণসংখ্যা নয়, তখন সম্মিলন ব্যাসার্ধ ঠিক 1। অংশ (ii) সূত্র (5) থেকে পাওয়া যায়,[[:en:Convergence tests#p-series test|টেমপ্লেট:Mvar-ধারার]] সঙ্গে তুলনা করে।

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^p},$

$p=1+\mathrm{Re}\alpha$ সহ, (iii) প্রমাণ করতে, প্রথমে সূত্র (3) ব্যবহার করে প্রাপ্ত করুন:

এবং তারপর (ii) এবং সূত্র (5) আবার ব্যবহার করে ধরা হবে যে, $\mathrm{Re}\alpha >-1$ হলে ডান দিকের সিরিজের সম্মিলন প্রমাণিত হবে। অন্যদিকে, সিরিজটি সম্মিলিত হয় না যদি $|x|=1$ এবং$\mathrm{Re}\alpha \le -1$, আবার সূত্র (5) দ্বারা। বিকল্পভাবে, আমরা লক্ষ্য করতে পারি যে, সকল $j$-এর জন্য,

$|\frac{\alpha +1}{j}-1|\ge 1-\frac{\mathrm{Re}\alpha +1}{j}\ge 1$

তাহলে, সূত্র (6) দ্বারা, সকল $k,\left|(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})\right|\ge 1$ এর জন্য,

এটি (iii) এর প্রমাণ সম্পন্ন করে। (iv) তে ফিরে আসা, আমরা উপরের পরিচয় (7) ব্যবহার করি$x=-1$ এবং$\alpha$ এর স্থলে রেখে, সঙ্গে সূত্র (4) ব্যবহার করে, প্রাপ্ত করব...

$\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})(-1{)}^k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha -1}{n})(-1{)}^n=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-\alpha +1)n^{\alpha }}(1+o(1))$

যেহেতু $n\to \mathrm{\infty }$ এখন, (iv) তত্ত্বটি$n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log (n)}$সিকুয়েন্সের অসিম্পটোটিক আচরণ থেকে অনুসৃত হয়, $n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log (n)}$। (সঠিকভাবে, $\left|e^{-\alpha \log n}\right|=e^{-\mathrm{Re}\alpha \log n}$ অবশ্যই $0$-এ প্রবণ হয় যদি $\mathrm{Re}\alpha >0$ এবং $+\mathrm{\infty }$-এ বিচ্যুত হয় যদি $\mathrm{Re}\alpha <0$ যদি $\mathrm{Re}\alpha =0$, তবে $n^{-\alpha }=e^{-i\mathrm{Im}\alpha \log n}$ প্রবণ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যখন সিকুয়েন্স $mod2\pi$-এ প্রবণ হয়, যা অবশ্যই সত্য যদি$\alpha =0$, কিন্তু যদি $\mathrm{Im}\alpha \ne 0$, তবে এটি মিথ্যা: পরবর্তী ক্ষেত্রে সিকুয়েন্সটি$mod2\pi$-অনুযায়ী ঘন হয়, কারণ $\log n$ বিচ্যুত হয় এবং $\log (n+1)-\log n$ শূন্যে প্রবণ হয়।

দ্বিপদী ধারার সমষ্টি

দ্বিপদী ধারার সমষ্টি নির্ণয় করার জন্য প্রচলিত যুক্তি সাধারণত এইভাবে হয়। সহগমন ব্যাসার্ধের মধ্যে, যেখানে টেমপ্লেট:Math , ধারাটি পদক্রমে অন্তরজ করে এবং সূত্র (1) ব্যবহার করে, তখন ধারটির সমষ্টি একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন হয় যা সাধারণ পার্থক্য সমীকরণ টেমপ্লেট:Math সমাধান করে, যার প্রাথমিক শর্ত হলো টেমপ্লেট:Math

এই সমস্যার একমাত্র সমাধান হল ফাংশন টেমপ্লেট:Math। আসলে, ইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টর টেমপ্লেট:Math দ্বারা গুণ করলে,

$0=(1+x{)}^{-\alpha }{u}^{\prime }(x)-\alpha (1+x{)}^{-\alpha -1}u(x)=[(1+x{)}^{-\alpha }u(x){]}^{\prime },$

অতএব, ফাংশন টেমপ্লেট:Math একটি ধ্রুবক, যা প্রাথমিক শর্ত আমাদের বলছে যে এটি টেমপ্লেট:Math। অর্থাৎ, {টেমপ্লেট:Math হল সেই দ্বিপদী ধারার সমষ্টি , যেখানে টেমপ্লেট:Math।

বিপরীত দ্বিপদী ধারা

বিপরীত দ্বিপদী ধারাটি ম্যাকলরিন ধারার মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে ফাংশনটি হল $g(x)=(1-x{)}^{-\alpha }$ এবং এখানে$\alpha \in ℂ$ এবং$|x|<1$

$\begin{array}{cc}\frac{1}{(1-x{)}^{\alpha }}& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{g^{(k)}(0)}{k!}{x}^k\\ & =1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha +1)}{2!}{x}^2+\frac{\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)}{3!}{x}^3+\cdots ,\end{array}$

যা মাল্টিসেট সহগের মাধ্যমে লেখা হয়,

$\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})\right):=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +k-1}{k})=\frac{\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +k-1)}{k!}.$

যখন, টেমপ্লেট:Mvar একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, বেশ কয়েকটি প্রচলিত ধারা দেখা যায়। টেমপ্লেট:Math ক্ষেত্রে ধারা, টেমপ্লেট:Math দেয়, যেখানে প্রতিটি পদটির সহগ সরলভাবেটেমপ্লেট:Math ক্ষেত্রে ধারা, টেমপ্লেট:Math দেয়, যার সহগগুলি গণনা সংখ্যা। টেমপ্লেট:Math ক্ষেত্রে ধারা, টেমপ্লেট:Math দেয়, যার সহগগুলি ত্রিভুজ সংখ্যা। টেমপ্লেট:Math ক্ষেত্রে ধারা, টেমপ্লেট:Math দেয়, যার সহগগুলি টেট্রাহেড্রাল সংখ্যা, এবং অনুরূপভাবে উচ্চতর পূর্ণসংখ্যা টেমপ্লেট:Mvar মানগুলির জন্যও।

ইতিহাস

দ্বিপদী ধারার প্রথম ফলাফলগুলি ধনাত্নক-পূর্ণসংখ্যক সূচক ছাড়া অন্যান্য সূচকের জন্য স্যার আইজ্যাক নিউটন দ্বারা প্রদান করা হয়েছিল, যা কিছু বক্ররেখার নিচে ক্ষেত্রফলের গবেষণার সময়। জন ওয়ালিস এই কাজের উপর ভিত্তি করে টেমপ্লেট:Math এর মতো অভিব্যক্তি বিবেচনা করেন, যেখানে টেমপ্লেট:Mvar একটি ভগ্নাংশ। তিনি আবিষ্কার করেন যে (আধুনিক শর্তে লেখা) টেমপ্লেট:Math of টেমপ্লেট:Math এর পরপর আসা গুণাঙ্কগুলি পূর্ববর্তী গুণাঙ্কটিকে টেমপ্লেট:Sfrac দ্বারা গুণ করে পাওয়া যায় (যেমন পূর্ণসংখ্যক সূচকের ক্ষেত্রে), ফলে এই গুণাঙ্কগুলির জন্য একটি সূত্রের প্রকাশ দেওয়া হয়। তিনি স্পষ্টভাবে নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি লিখেন:

$(1-x^2{)}^{1/2}=1-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}-\frac{x^6}{16}\cdots$

$(1-x^2{)}^{3/2}=1-\frac{3x^2}{2}+\frac{3x^4}{8}+\frac{x^6}{16}\cdots$

$(1-x^2{)}^{1/3}=1-\frac{x^2}{3}-\frac{x^4}{9}-\frac{5x^6}{81}\cdots$

অতএব, দ্বিপদী ধারাটি কখনও কখনও নিউটনের দ্বিপদী উপপাদ্য হিসেবে অভিহিত করা হয়। নিউটন কোন প্রমাণ দেননি এবং ধারাটির প্রকৃতি সম্পর্কে স্পষ্টভাবে কিছু উল্লেখ করেননি। পরে, ১৮২৬ সালে নীলস হেনরিক আবেল এই বিষয়টি ক্রেলস জার্নালে প্রকাশিত একটি প্রবন্ধে আলোচনা করেন, যেখানে বিশেষভাবে সংকোচনের প্রশ্নগুলি বিবেচনা করা হয়।

আরও দেখুন

• দ্বিপদী উপপাদ্য
• ল্যাম্বার্ট ডব্লিউ ফাংশন