ফ্রাইসে সীমা

গাণিতিক যুক্তিবিদ্যায়, বিশেষ করে মডেল তত্ত্বের ক্ষেত্রে, ফ্রাইসে সীমা (যাকে ফ্রাইসে কন্সট্রাকশন বা ফ্রাইসে এমালগেমেশনও বলা হয়) হলো একটি পদ্ধতি যা (সীমিত) অবকাঠামো থেকে (অসীম) গাণিতিক কাঠামো তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়। এটি একটি বিভাগে সরাসরি সীমার সাধারণ ধারণার একটি বিশেষ উদাহরণ। এই কৌশলটি ১৯৫০-এর দশকে ফরাসি যুক্তিবিদ রোল্যান্ড ফ্রেসির নাম অনুসারে তৈরি করা হয়েছিল।

ফ্রাইসে-এর নির্মাণের মূল বিষয় হলো কীভাবে কেউ একটি ( গণনাযোগ্য ) কাঠামোকে তার সীমাবদ্ধ অবকাঠামো দ্বারা আনুমানিক করতে পারে তা দেখানো। একটা $𝐊$ ক্লাস সীমিত সম্পর্কীয় কাঠামোর, যদি $𝐊$ নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলোকে সন্তুষ্ট করে (নীচে বর্ণিত), তাহলে একটি অনন্য গণনাযোগ্য $\mathrm{Flim}(𝐊)$ কাঠামো বিদ্যমান, এর ফ্রাইসে সীমাকে বলা হয় $𝐊$, যা এর সমস্ত উপাদান ধারণ করে $𝐊$ অবস্ট্রাকচার হিসেবে।

ফ্রাইসে সীমা এবং সম্পর্কিত ধারণাগুলোর সাধারণ অধ্যয়নকে কখনো কখনো ফ্রাইসে তত্ত্ব বলা হয়। এই ক্ষেত্রটির গণিতের অন্যান্য অংশে ব্যাপক প্রয়োগ রয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে টপোলজিকাল গতিবিদ্যা, কার্যকরী বিশ্লেষণ এবং রামসে তত্ত্ব ।

পরিশেষে তৈরি করা অবকাঠামো এবং বয়স

একটি ভাষা ঠিক করুন যা হলো $ℒ$ । $ℒ$ দ্বারা একটি কাঠামো ধরা হয়, যা একটি $ℒ$ স্বাক্ষরসহ যৌক্তিক কাঠামো।

একটি $ℒ$ - কাঠামোতে $ℳ$ ডোমেইনসহ $M$, এবং একটি উপসেট $A\subseteq M$-কে আমরা ব্যবহার করি $⟨A{⟩}^{ℳ}$ এর সর্বনিম্ন অবকাঠামো বোঝাতে। $ℳ$ যার ডোমেইন রয়েছে $A$ (অর্থাৎ $A$-এর মধ্যে সমস্ত ফাংশন এবং ধ্রুবক চিহ্নের অধীনে রয়েছে $ℒ$ )

একটি সাবস্ট্রাকচার $𝒩$ এর $ℳ$-কে তখন পরিশেষে জেনারেট হতে বলা হয় যদি $𝒩=⟨A{⟩}^{ℳ}$ কিছু সীমাবদ্ধ উপসেটের জন্য $A\subseteq M$ হয়। বয়স যদি $ℳ$ হয়, নির্দেশিত $\mathrm{Age}(ℳ)$, হলো সমস্ত $ℳ$-এর সীমাবদ্ধভাবে উৎপাদিত অবস্ট্রাকচারের শ্রেণী।

যেকোনো ক্লাস প্রমাণ করতে পারে যে $𝐊$ কিছু কাঠামোর বয়সের ক্ষেত্রে নিম্নলিখিত দুইটি শর্ত পূরণ করে:

বংশগত সম্পত্তি (এইচপি)

যদি $A\in 𝐊$ এবং $B$ একটি সীমাবদ্ধভাবে উৎপন্ন অবকাঠামো $A$ হয়, তাহলে $𝐊$ $B$ এর মধ্যে কিছু কাঠামোর জন্য আইসোমরফিক।

জয়েন্ট এমবেডিং প্রপার্টি (জেইপি)

যদি $A,B\in 𝐊$ হয়, তবে বিদ্যমান $C\in 𝐊$ যেমন উভয় $A$ এবং $B$ উভয়ই $C$-তে এম্বেডযোগ্য।

ফ্রাইসে এর উপপাদ্য

সংমিশ্রণ সম্পত্তি চিত্রিত একটি পরিবর্তনমূলক চিত্র ।

উপরের হিসেবে, যেকোনো $ℒ$ - কাঠামো $ℳ$, $\mathrm{Age}(ℳ)$ এইচপি এবং জেইপিকে সন্তুষ্ট করে। ফ্রাইসে একটি সর্ট-অব-কনভার্স-এর ফলাফল প্রমাণ করে: যখন $𝐊$ সীমিতভাবে উৎপন্ন কোনো অ-খালি, গণনাযোগ্য সেট $ℒ$ - যে কাঠামোর উপরোক্ত দুইটি বৈশিষ্ট্য থাকে, আর তখন এটি কিছু গণনাযোগ্য কাঠামোর বয়স।

উপরন্তু, এটাও অনুমান করা হয় যে $𝐊$ নিম্নলিখিত অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য সন্তুষ্ট করবে।

একত্রিত সম্পত্তি (এপি)

যেকোনো কাঠামোর জন্য $A,B,C\in 𝐊$, যাতে এমবেডিংভাবে বিদ্যমান $f:A\to B$, $g:A\to C$, এবং একটি কাঠামো বিদ্যমান আছে যাতে $D\in 𝐊$ এবং এমবেডিং $f^{\prime }:B\to D$, $g^{\prime }:C\to D$ যেমন $f^{\prime }\circ f=g^{\prime }\circ g$ (অর্থাৎ তারা উভয় কাঠামোতে A-এর চিত্রের সাথে মিলে যায়)।

অপরিহার্য গণনাযোগ্যতা (ইসি)

আইসোমরফিজম পর্যন্ত, $𝐊$-এর মধ্যে গণনাযোগ্যভাবে অনেকগুলো কাঠামো রয়েছে।

সেক্ষেত্রে, আমরা বলি যে K-তে একটি ফ্রাইসে শ্রেণী, এবং একটি অনন্য (আইসোমরফিজম পর্যন্ত), গণনাযোগ্য, সমজাতীয় কাঠামো রয়েছে যেখানে $\mathrm{Flim}(𝐊)$ এবং যার বয়স $𝐊$। এই কাঠামোকে $𝐊$-এর ফ্রাইসে সীমা বলা হয়।

এখানে, সমজাতীয় মানে যেকোনো আইসোমরফিজম $\pi :A\to B$ দুইটি সীমাবদ্ধভাবে উৎপন্ন সাবস্ট্রাকচারের মধ্যে $A,B\in 𝐊$ পুরো কাঠামোর একটি অটোমরফিজম পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে।

উদাহরণ

প্রথাগত উদাহরণ হলো ক্লাস $𝐅𝐂𝐡$-এর সমস্ত সসীম রৈখিক ক্রমগুলোর মধ্যে, যার জন্য ফ্রাইসে সীমাটি হলো শেষবিন্দু ছাড়াই একটি ঘন রৈখিক ক্রম (অর্থাৎ ক্ষুদ্রতম বা বৃহত্তম উপাদান নয়)। ক্যান্টরের আইসোমরফিজম উপপাদ্য অনুসারে, আইসোমরফিজম পর্যন্ত, এটি সর্বদা গঠনের সমতুল্য $⟨\mathbb{Q},<⟩$, যথা স্বাভাবিক ক্রমসহ মূলদ সংখ্যা ।

একটি অ-উদাহরণ হিসেবে, মনে রাখবেন যে না $⟨\mathbb{N},<⟩$ বা $⟨\mathbb{Z},<⟩$ এর ফ্রাইসে সীমা $𝐅𝐂𝐡$। এর কারণ, যদিও উভয়ই গণনাযোগ্য এবং $𝐅𝐂𝐡$ আছে তাদের বয়স হিসেবে, তাই কেউই সমজাতীয় নয়। সেক্ষেত্রে, সাবস্ট্রাকচারগুলো বিবেচনা করুন $⟨\{1,3\},<⟩$ এবং $⟨\{5,6\},<⟩$, এবং আইসোমরফিজম $1\mapsto 5,3\mapsto 6$ তাদের মধ্যে এটি একটি স্বয়ংক্রিয়তা বাড়ানো যাবে না $⟨\mathbb{N},<⟩$ বা $⟨\mathbb{Z},<⟩$ যেহেতু $2$-কে আমরা ম্যাপ করতে পারি এমন কোনো উপাদান নেই, যতক্ষণ আদেশ সংরক্ষণ করা হবে ততক্ষণ।

আরেকটি উদাহরণ হলো ক্লাস $𝐆𝐩𝐡$ সমস্ত সসীম গ্রাফের, যার ফ্রাইসে সীমা হলো রাডো গ্রাফ ।

যেকোনো মৌলিক p এর জন্য, বৈশিষ্ট্যগত p এর সসীম ক্ষেত্রগুলোর শ্রেণির ফ্রাইসে সীমা হলো ${\overline{𝔽}}_p$-এর বীজগণিতীয় বন্ধ।

সসীম অ্যাবেলিয়ান <i id="mwtg">পি</i> -গ্রুপের ক্লাসের ফ্রাইসে সীমা হলো $\mathbb{Z}(p^{\mathrm{\infty }}{)}^{(\omega )}$ ( প্রুফার গ্রুপের গণনাযোগ্যভাবে অনেক নকলের সরাসরি যোগফল)। সমস্ত সসীম আবেলিয়ান গোষ্ঠীর শ্রেণীর ফ্রাইসে সীমা হলো $\underset{p\text{ prime}}{⨁}\mathbb{Z}(p^{\mathrm{\infty }}{)}^{(\omega )}\simeq (\mathbb{Q}/\mathbb{Z}{)}^{(\omega )}$ .

সমস্ত সসীম গ্রুপের ক্লাসের ফ্রাইসে সীমা হলো হলের সার্বজনীন গ্রুপ ।

অতুচ্ছ সসীম বুলিয়ান বীজগণিত শ্রেণীর ফ্রাইসে সীমা হলো অনন্য গণনাযোগ্য পরমাণুবিহীন বুলিয়ান বীজগণিত।

ω-শ্রেণীগততা এবং পরিমাপক নির্মূল

বিবেচনাধীন ক্লাস $𝐊$-কে বলা হয় অভিন্নভাবে স্থানীয়ভাবে সীমিত যদি প্রত্যেকের জন্য $n$, আকারের উপর আবদ্ধ একটি ইউনিফর্ম থাকে যা $n$ -এর মধ্যে তৈরি করা (সাবস্ট্রাকচারের) $𝐊$-এর কাঠামো। $𝐊$-এর ফ্রাইসে সীমা ω-শ্রেণীগত যদি এবং শুধুমাত্র যদি $𝐊$ সমানভাবে স্থানীয়ভাবে সীমিত। যদি $𝐊$ সমানভাবে স্থানীয়ভাবে সীমিত হয়, তারপর ফ্রাইসে-এর সীমা $𝐊$-এর কোয়ান্টিফায়ার নির্মূল আছে।

যদি $𝐊$-এর ভাষা সসীম, এবং শুধুমাত্র সম্পর্ক এবং ধ্রুবক নিয়ে গঠিত তাহলে $𝐊$ স্বয়ংক্রিয়ভাবে স্থানীয়ভাবে সীমিত।

উদাহরণস্বরূপ, একটি স্থির ক্ষেত্রের উপর সসীম মাত্রিক ভেক্টর স্থানগুলোর শ্রেণী সর্বদা একটি ফ্রাইসে শ্রেণী, তবে ক্ষেত্রটি সসীম হলেই এটি স্থানীয়ভাবে সমানভাবে সসীম। সসীম বুলিয়ান বীজগণিতের শ্রেণী স্থানীয়ভাবে সমানভাবে সসীম, যেখানে প্রদত্ত বৈশিষ্ট্যের সসীম ক্ষেত্রের শ্রেণী বা সসীম গোষ্ঠী বা অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলো নয়, কারণ এই শ্রেণীর মধ্যে 1-উৎপন্ন কাঠামোর ইচ্ছামতো বড় সসীম আকার থাকতে পারে।