ক্ষেত্র (গণিত)

বিমূর্ত বীজগণিতের ভাষায় ফিল্ড একটি বীজগাণিতিক গঠন যাতে যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ (শুণ্য দিয়ে ভাগ করা ছাড়া) করা যায়। পাটিগণিতের প্রায় সব গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য ফিল্ডের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

গণিতের যে শাখায় ফিল্ড নিয়ে গবেষণা করা হয় তাকে স্বাভাবিক কারণে ফিল্ড তত্ত্ব বলা হয়।

সংজ্ঞা

একটি ফীল্ড $ℱ$ একটি সেট, যাতে $+$ এবং $*$ নামের দুইটি বাইনারি ফাংশন ($ℱ\times ℱ\to ℱ$) সংজ্ঞায়িত, যেন:

• $+$ এবং $*$ উভয়েই সংযোজনযোগ্য:

$(a+b)+c=a+(b+c),(a*b)*c=a*(b*c)$, যেখানে $a,b,c\in ℱ$

• $+$ এবং $*$ উভয়েই বিনিময়যোগ্য

$a+b=b+a,a*b=b*a$, যেখানে $a,b\in ℱ$

• $*$ ফাংশনটি $+$ এর উপর বিতরণযোগ্য

$a*(b+c)=a*b+a*c$, যেখানে $a,b,c\in ℱ$

• $+$ এর জন্য অভেদকের অস্তিত্ব:

$ℱ$-এ একটি সদস্য $0$ আছে যেন যে কোন $a\in ℱ$ এর জন্য $a+0=0+a=a$ হয়

• $*$ এর জন্য অভেদকের অস্তিত্ব:

$ℱ$-এ একটি সদস্য $1$ আছে ($0$ থেকে ভিন্ন) যেন যে কোন $a\in ℱ$ এর জন্য $a*1=1*a=a$ হয়

• $+$ এর জন্য বিপরীতকের অস্তিত্ব:

যে কোন $a\in ℱ$ এর জন্য একটি $-a\in ℱ$ আছে যেন $a+(-a)=0$ হয়

• $*$ এর জন্য বিপরীতকের অস্তিত্ব:

যে কোন $a\in ℱ$, যেখানে $a\ne 0$, এর জন্য একটি $a^{-1}\in ℱ$ আছে যেন $a*a^{-1}=1$ হয়

উদাহরণ

• বাস্তব সংখ্যাগুলি একটি ফীল্ড।
• জটিল সংখ্যাগুলিও একটি ফীল্ড।
• পূর্ণ সংখ্যাগুলি ফীল্ড নয়। কারণ এমন অনেক পূর্ণ সংখ্যা আছে যাদের $*$ এর জন্য বিপরীতক পূর্ণ সংখ্যা নয়। যেমন ৫ এর বিপরীতক হল ১/৫, যা পূর্ণ সংখ্যা নয়। অর্থাৎ পূর্ণ সংখ্যার সেটে ৫ এর কোন বিপরীতক নেই।
• মূলদ এবং বীজগাণিতিক সংখ্যাগুলি ফীল্ড।