অন্তরকলন বিধি

অন্তরকলনযোগ্য ফাংশন

এগুলো পৃথকীকরণের বিধিগুলোর একটি সংক্ষিপ্তসার। অর্থাৎ ক্যালকুলাসের যেকোন ক্রমের ডেরিভেটিভ গণনা করার নিয়ম।

সাধারণ নিয়ম

• যদি f(x) একটি ধ্রুবক হয় , তাহলে

$f^{\prime }=0.$

• যোগের নিয়ম

$(\alpha f+\beta g{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime }+\beta g^{\prime }$ α ও β বাস্তব সংখ্যা

• গুণের নিয়ম

$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

• ভাগের নিয়ম

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ ;g ≠ 0

• চেইন নিয়ম

যদি $f(x)=h(g(x))$ হয় তবে

$f^{\prime }(x)=h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$

সূত্র

মূলদ অপেক্ষকের সূত্র

$\frac{d}{dx}c=0$

$\frac{d}{dx}x=1$

$\frac{d}{dx}(cx)=c$

$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$ যেখানে $x^n$ ও $n{x}^{n-1}$ সংজ্ঞায়িত

সূচকীয় সূত্র

$\frac{d}{dx}{c}^x=c^x\ln c,c>0$

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$

লগ্যারিদমিক সূত্র

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},x>0$]

ত্রিকোণামিতিক সূত্র

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

$\frac{d}{dx}\tan x={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

$\frac{d}{dx}\sec x=\tan x\sec x$

$\frac{d}{dx}\sec x=-\sec x\cot x$

$\frac{d}{dx}\cot x=-{\sec }^{2}x=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}$

বিপরীত ত্রিকোণামিতিক সূত্র

$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\arccos x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}x=\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arccot}x=\frac{-1}{1+x^2}$

হাইপারবোলিক সূত্র

$\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

$\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

$\frac{d}{dx}\tanh x={\mathrm{sech}}^{2}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{sech}x=-\tanh x\mathrm{sech}x$

$\frac{d}{dx}\coth x=-{\mathrm{csch}}^{2}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{csch}x=-\coth x\mathrm{csch}x$

বিপরীত হাইপারবোলিক সূত্র

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsinh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arccosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arctanh}x=\frac{1}{1-x^2}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsech}x=\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arccoth}x=\frac{1}{1-x^2}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arccsch}x=\frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$

বিবিধ সূত্র

$\frac{d}{dx}f(cx)=c{f}^{\prime }(cx)$

$\frac{d}{dx}|x|=\frac{|x|}{x}=\mathrm{sgn}x,x\ne 0$

$\frac{d}{dx}(f^{-1}(x))=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}$ চেইন নিয়ম থেকে যা প্রমাণ করা যায়।

বিশেষ অন্তরজ ফাংশন

গামা ফাংশন $\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$ ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}\ln tdt$ $=\mathrm{\Gamma }(x)(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\ln (1+\frac{1}{n})-\frac{1}{x+n})-\frac{1}{x})$ $=\mathrm{\Gamma }(x)\psi (x)$ with $\psi (x)$

রাইমান যেটা (Zeta)ফাংশন $\zeta (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^x}$ ${\zeta }^{\prime }(x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln n}{n^x}=-\frac{\ln 2}{2^x}-\frac{\ln 3}{3^x}-\frac{\ln 4}{4^x}-\cdots$ $=-\sum _{p\text{ prime}}\frac{p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x}{)}^2}\prod _{q\text{ prime},q\ne p}\frac{1}{1-q^{-x}}$

আরও দেখুন

• অন্তরকলন
• সমাকলন সূচী