অপরিবর্তনীয়তা (যুক্তি)

অপরিবর্তনীয়তা বা পরম হল একটি গাণিতিক ধারণা যা নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে একটি সূত্রের সত্যতার ধারাবাহিকতাকে বোঝায়।

গাণিতিক যুক্তিতে, একটি সূত্রকে নির্দিষ্ট ধরনের গঠন বা মডেলগুলোর জন্য পরম বলা হয়, যদি সেই শ্রেণীর প্রতিটি সদস্যের মধ্যে এর সত্য মান একই থাকে। আমরা দুটি নির্দিষ্ট গঠনের মধ্যেও এই পরমতার কথা বলতে পারি, যদি সেই দুটি গঠন এমন একটি গ্রুপের অন্তর্গত হয় যেখানে সূত্রটি সবসময় একই রকম সত্য। উদাহরণ: "সব মানুষ মরণশীল" এই বাক্যটি বিভিন্ন সময় এবং স্থানে সত্য থাকবে। তাই, আমরা বলতে পারি যে এই বাক্যটি সময় এবং স্থানের পরিবর্তনের সাথে পরম। পরমতার উপপাদ্যগুলি সাধারণত সূত্রগুলির পরমতা এবং তাদের বাক্যগঠনগত রূপের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে।

একটি সূত্রের দুটি দুর্বল রূপ রয়েছে আংশিক পরমতার (partial absoluteness) ক্ষেত্রে। যদি কোনো কাঠামো M- এর প্রতিটি উপগঠন N- এর একটি সূত্রের সত্যতা, M- এর তার সত্যতার উপর নির্ভর করে, তাহলে সেই সূত্রটি নিম্নগামী পরম (downward absolute) বলা হয়। যদি কোনো গঠন N- এর একটি সূত্রের সত্যতা, N -এর বিস্তৃত করা কোনো গঠন M তে তার সত্যতার সাথে সম্পর্কিত হয়, তবে সেটি ঊর্ধ্বগামী পরম (upward absolute) বলা হয়।

অপরিবর্তনীয়তার বিষয়গুলো সেট তত্ত্ব এবং মডেল তত্ত্বে বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ, যেখানে একাধিক গঠন একসাথে বিবেচনা করা হয়। মডেল তত্ত্বে, অনেক মৌলিক ফলাফল এবং সংজ্ঞা অপরিবর্তনীয়ত দ্বারা অনুপ্রাণিত। সেট তত্ত্বে, সেটগুলির কোন গুণাবলী অপরিবর্তনীয় তা ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে। জোসেফ শোয়েনফিল্ড (১৯৬১) এর শোয়েনফিল্ড অপরিবর্তনীয়তা থিওরেম একটি সেট তত্ত্বের মডেল এবং তার গঠনযোগ্য বিশ্বব্যাপী অনেক সূত্রের অপরিবর্তনীয়তা প্রতিষ্ঠিত করে, যার গুরুত্বপূর্ণ পদ্ধতিগত পরিণতি রয়েছে। বড় কার্ডিনাল এক্সিওমগুলির অপরিবর্তনীয়তাও অধ্যয়ন করা হয়েছে, যার কিছু ইতিবাচক এবং নেতিবাচক ফলাফল পাওয়া গেছে।

মডেল তত্ত্বে

মডেল তত্ত্বে, পরমতার সাথে সম্পর্কিত বেশ কয়েকটি সাধারণ ফলাফল এবং সংজ্ঞা রয়েছে। অধোগামী পরমতার একটি মৌলিক উদাহরণ হল সার্বিক বাক্য (যেগুলিতে শুধুমাত্র সার্বিক পরিমাণ নির্ণায়ক রয়েছে) যেগুলি একটি গঠনে সত্য, সেগুলি মূল গঠনের প্রতিটি উপগঠনেও সত্য হয়। বিপরীতভাবে, অস্তিত্বগত বাক্যগুলি একটি গঠন থেকে তার মধ্যে অন্তর্ভুক্ত কোনো গঠন পর্যন্ত ঊর্ধ্বগামী পরম।

দুটি গঠনকে প্রাথমিকভাবে সমতুল্য বলা হয় যখন তারা তাদের ভাষার সমস্ত বাক্যের সত্য মান সম্পর্কে একমত হয়, অর্থাৎ যখন তাদের ভাষার সমস্ত বাক্যই দুটি গঠনের মধ্যে পরম হয়। এএকটি তত্ত্বকে সম্পূর্ণ মডেল বলে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি কখনো M এবং N উক্ত তত্ত্বের মডেল হয় এবং M হল N এর একটি উপ-গঠন, তাহলে M হল N- এর একটি প্রাথমিক অবকাঠামো।

সেট তত্ত্বে

আধুনিক সেট তত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ হল ZF এবং ZFC এর বিভিন্ন মডেল অধ্যয়ন। এমন মডেলগুলির অধ্যয়নের জন্য এটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ যে, একটি সেটের কোন গুণাবলী বিভিন্ন মডেলের জন্য অপরিবর্তনীয় তা জানা। সাধারণত, সেট তত্ত্বের একটি নির্দিষ্ট মডেল দিয়ে শুরু করা হয় এবং শুধুমাত্র অন্যান্য ট্রানজিটিভ মডেলগুলি বিবেচনা করা হয়, যেগুলোর মধ্যে একই অর্ডিনাল থাকে যেমন নির্দিষ্ট মডেলে।

সেট তত্ত্বের সব ট্রানজিটিভ মডেলে সত্য এমন কিছু নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যেমনঃ

• x হল খালি সেট ।
• x একটি অর্ডিন্যাল।
• x একটি সসীম অর্ডিন্যাল।
• x একটি উত্তরসূরি অর্ডিন্যাল।
• x একটি সীমা অর্ডিনাল।
• x = ω।
• x সসীম ।
• x হল (এর গ্রাফ) একটি ফাংশন ।

অন্যান্য বৈশিষ্ট্য পরম নয়:

• গণনাযোগ্য
• একটি কার্ডিনাল
• নিয়মিত কার্ডিনাল
• একটি সীমা কার্ডিনাল
• একটি দুর্গম কার্ডিনাল

গণনাযোগ্যতার জন্য নিরঙ্কুশতার ব্যর্থতা

স্কোলেমের পরাডক্স হল একটি আপাত বিরোধিতা, যেখানে একদিকে, বাস্তব সংখ্যাগুলির সেট অগণনীয় (এবং এটি ZFC থেকেও প্রমাণযোগ্য, বা এমনকি ZFC' নামে একটি ছোট ফাইনাইট সাবসিস্টেম থেকেও প্রমাণযোগ্য), কিন্তু অন্যদিকে, ZFC' এর গণনাযোগ্য ট্রানজিটিভ মডেলগুলি রয়েছে (এটি ZFC তে প্রমাণযোগ্য), এবং এমন একটি মডেলে বাস্তব সংখ্যাগুলির সেট একটি গণনাযোগ্য সেট হবে। এই পরাডক্সটি সমাধান করা যেতে পারে এইভাবে যে, গণনাযোগ্যতা একটি নির্দিষ্ট মডেলের সাবমডেলগুলির জন্য অপরিবর্তনীয় নয়। এটি সম্ভব যে, কোনো সেট X একটি সেট তত্ত্বের মডেলে গণনাযোগ্য, কিন্তু একটি সাবমডেলে, যেখানে X রয়েছে, সেটি অগণনীয় হতে পারে, কারণ সাবমডেলটি X এবং ω এর মধ্যে কোনো বায়েকশন ধারণ করতে নাও পারে, অথচ গণনাযোগ্যতার সংজ্ঞা হল এমন একটি বায়েকশনের অস্তিত্ব। লেভেনহেইম–স্কোলেম থিওরেম, যখন ZFC এ প্রয়োগ করা হয়, এটি দেখায় যে এই পরিস্থিতি ঘটতে পারে।

শোয়েনফিল্ডের পরমত্বের উপপাদ্য

শোয়েনফিল্ডের অপরিবর্তনীয়তা থিওরেম দেখায় যে, ${\mathrm{\Pi }}_2^1$ এবং ${\mathrm{\Sigma }}_2^1$ বাক্যগুলি যে বিশ্লেষণাত্মক শ্রেণিবিন্যাসে (analytical hierarchy) রয়েছে, সেগুলি একটি ZF মডেল V এবং তার গঠনযোগ্য বিশ্ব L এর মধ্যে অপরিবর্তনীয়, যখন এগুলি প্রতিটি মডেলে প্রাকৃতিক সংখ্যা সম্পর্কে বিবৃতি হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয়। থিওরেমটি রিলেটিভাইজ করা যেতে পারে যাতে বাক্যটি V এর প্রকৃত সংখ্যার সেট ব্যবহার করে প্যারামিটার হিসেবে, এই ক্ষেত্রে L কে সেই ছোট সাবমডেল দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে হবে যা ওই প্যারামিটার এবং সমস্ত অর্ডিনাল ধারণ করে। থিওরেমটির কিছু ফলস্বরূপ আছে, যেমন ${\mathrm{\Sigma }}_3^1$ বাক্যগুলি উপরের অপরিবর্তনীয় (যদি এমন একটি বাক্য L তে সত্য হয়, তবে তা V তেও সত্য হবে) এবং ${\mathrm{\Pi }}_3^1$ বাক্যগুলি নিচে অপরিবর্তনীয় (যদি তা V তে সত্য হয়, তবে তা L তেও সত্য হবে)। কারণ, যেকোনো দুটি ট্রানজিটিভ মডেল যা একই অর্ডিনাল ধারণ করে, তাদের গঠনযোগ্য বিশ্ব একই হয়, শোয়েনফিল্ডের থিওরেম দেখায় যে, এমন দুটি মডেল অবশ্যই সব ${\mathrm{\Pi }}_2^1$ বাক্যের সত্যতা সম্পর্কে একমত হবে।

শোয়েনফিল্ডের থিওরেমের একটি ফলস্বরূপ পছন্দের স্বতঃসিদ্ধের (Axiom of Choice) সম্পর্কিত। গোডেল প্রমাণ করেছিলেন যে, গঠনযোগ্য বিশ্ব L সবসময় ZFC মেনে চলে, যার মধ্যে নির্বাচনীয় মৌলবাদ (Axiom of Choice) অন্তর্ভুক্ত, যদিও V কেবল ZF মেনে চলা বলে ধরা হয়েছে। শোয়েনফিল্ডের থিওরেম দেখায় যে, যদি কোনো ZF মডেলে একটি নির্দিষ্ট ${\mathrm{\Sigma }}_3^1$বাক্য φ মিথ্যা হয়, তবে সেই φ গঠনযোগ্য বিশ্বে (L) সেই মডেলের মধ্যে মিথ্যা হবে। এর বিপরীত অর্থে, এটি মানে যে, যদি ZFC একটি ${\mathrm{\Sigma }}_3^1$ বাক্য প্রমাণ করে, তবে সেই বাক্যটি ZF তেও প্রমাণযোগ্য হবে। একই যুক্তি অন্যান্য যে কোনো নীতির জন্য প্রযোজ্য যা সবসময় গঠনযোগ্য বিশ্বে সত্য থাকে, যেমন কম্বিনেটোরিয়াল নীতি (◊)। যদিও এই নীতিগুলি ZF থেকে স্বাধীন হতে পারে, তবে তাদের প্রতিটি ${\mathrm{\Sigma }}_3^1$ ফলাফল ইতোমধ্যে ZF তে প্রমাণযোগ্য। বিশেষভাবে, এর মধ্যে কোনো ${\mathrm{\Sigma }}_3^1$ ফলাফলও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যা পিয়ানো গাণিতিক ভাষায় (first-order language of Peano arithmetic) প্রকাশ করা যেতে পারে।

শোয়েনফিল্ডের উপপাদ্যটিও দেখায় যে স্বাধীনতার ফলাফলের সীমা রয়েছে যা জোর করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। বিশেষ করে, পিয়ানো পাটিগণিতের যেকোনো বাক্য একই অর্ডিন্যাল সহ সেট তত্ত্বের ট্রানজিটিভ মডেলের জন্য পরম। এইভাবে গাণিতিক বাক্যগুলির সত্য মান পরিবর্তন করার জন্য বলপ্রয়োগ করা সম্ভব নয়, কারণ বল প্রয়োগ করা মডেলের অর্ডিন্যালগুলিকে পরিবর্তন করে না যেখানে এটি প্রয়োগ করা হয়। অনেক বিখ্যাত উন্মুক্ত সমস্যা, যেমন রিম্যান হাইপোথিসিস এবং P = NP সমস্যা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে ${\mathrm{\Pi }}_2^1$ বাক্য (বা নিম্ন জটিলতার বাক্য), এবং এইভাবে জোর করে ZFC থেকে স্বাধীন প্রমাণিত হতে পারে না।

শোয়েনফিল্ডের উপপাদ্যটিও দেখায় যে, ফোর্সিং (forcing) দ্বারা যা স্বাধীনতার ফলাফল পাওয়া যায়, তার একটি সীমা রয়েছে। বিশেষভাবে, পিয়ানো গাণিতিক (Peano arithmetic) যে কোনো বাক্য অপরিবর্তনীয় (absolute) হয় সেইসব ট্রানজিটিভ মডেল এর জন্য যেগুলির অর্ডিনাল একই। এর মানে হল যে, ফোর্সিং এর মাধ্যমে গাণিতিক বাক্যগুলির সত্য মান পরিবর্তন করা সম্ভব নয়, কারণ ফোর্সিং মডেলের অর্ডিনাল পরিবর্তন করে না। অনেক বিখ্যাত খোলামেলা সমস্যা, যেমন রিয়েম্যান অনুমান (Riemann hypothesis) এবং P = NP সমস্যা, এগুলি ${\mathrm{\Pi }}_2^1$ বাক্য (অথবা নিম্নমানের জটিলতার বাক্য) হিসেবে প্রকাশ করা যায়, এবং তাই ফোর্সিং দ্বারা ZFC থেকে স্বাধীন হিসেবে প্রমাণ করা সম্ভব নয়।

বড় কার্ডিনাল

নির্দিষ্ট কিছু বড় কার্ডিনাল আছে যেগুলো সেট তত্ত্বের কোনো মডেলের গঠনযোগ্য মহাবিশ্বে ( L ) থাকতে পারে না। তবুও, গঠনযোগ্য বিশ্ব সেই সমস্ত অর্ডিনাল সংখ্যাগুলি ধারণ করে, যেগুলি মূল সেট তত্ত্বের মডেল ধারণ করে। এই "প্যারাডক্স" সমাধান করা যেতে পারে এটি লক্ষ্য করে যে, কিছু বড় কার্ডিনালের সংজ্ঞায়িত গুণাবলী সাবমডেলগুলির জন্য অপরিবর্তনীয় নয়।

এমন একটি অপরম বড় কার্ডিনাল এক্সিওমের উদাহরণ হল পরিমাপযোগ্য কার্ডিনাল (measurable cardinals); একটি অর্ডিনাল পরিমাপযোগ্য কার্ডিনাল হতে হলে আরেকটি সেট (যা পরিমাপ বলে পরিচিত) থাকতে হবে, যেটি কিছু নির্দিষ্ট গুণাবলী পূর্ণ করে। এটি প্রমাণ করা যায় যে, এমন কোনো পরিমাপ গঠনযোগ্য নয়।

এছাড়াও দেখুন

• রক্ষণশীল এক্সটেনশন
• লেভি অনুক্রম

তথ্যসূত্র

• জেচ, থমাস, 2003। সেট তত্ত্ব: তৃতীয় সহস্রাব্দ সংস্করণ, সংশোধিত এবং প্রসারিত । স্প্রিংগার। ।
• কুনেন, কেনেথ, 1980। সেট তত্ত্ব: স্বাধীনতা প্রমাণের একটি ভূমিকা । এলসেভিয়ার।টেমপ্লেট:আইএসবিএনআইএসবিএন 0-444-86839-9 ।
• শোনফিল্ড, জোসেফ, 1961। "প্রেডিকেটিভিটির সমস্যা", গণিতের ভিত্তির উপর প্রবন্ধ, Y. বার-হিলেল এট আল।, eds. , পৃ. 132 – 142।