অসীম দ্বারা ভাগ

চিত্র:Hyperbola one over x.svg

হাইপারবোলা $y=1/x$ । যেখান $x$ এর অভিগমন ∞, $y$ এর অভিগমন 0

গণিতের ভাষায়, অসীম দ্বারা ভাগ করা বলতে এমন একটি ভাগ প্রক্রিয়াকে বোঝায় যেখানে ভাগকারী বা ডিনোমিনেটর ∞ (অসীম)। সাধারণ গাণিতিক গণনার ক্ষেত্রে এটি সুসংজ্ঞায়িত নয়, কারণ ∞ একটি গাণিতিক ধারণা যা কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়। তাছাড়া, এমন কোনো অশূন্য বাস্তব সংখ্যা নেই, যা নিজেকে অসীম সংখ্যক বার যোগ করার মাধ্যমে একটি সসীম সংখ্যা তৈরি করে, যদি না আমরা অনির্ধারিত রূপের ধারণাটি বিবেচনা করি। তবে, "অসীম দ্বারা ভাগ করা" কথাটি অনানুষ্ঠানিকভাবে ব্যবহার করা হয়, যখন আমরা একটি সংখ্যা ক্রমাগত বড় এবং বড় ভাগকারীতে ভাগ করার সীমা প্রকাশ করতে চাই।টেমপ্লেট:Rp

বাস্তব সংখ্যার সীমার বাইরে থাকা গাণিতিক কাঠামো ব্যবহার করে এমন সংখ্যাগুলি সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব, যেগুলোর মান অসীম হলেও সেগুলোকে সাধারণ গাণিতিক পদ্ধতির মতোই ব্যবহার করা যায়। যেমন, বিস্তৃত বাস্তব সংখ্যার রেখায়, যেকোনো বাস্তব সংখ্যা অসীম দ্বারা ভাগ করলে ফলস্বরূপ শূন্য হয়, তবে সুপারিয়াল সংখ্যা পদ্ধতিতে, ১ কে অসীম সংখ্যা $\omega$ দ্বারা ভাগ করলে ফলস্বরূপ অসীম ক্ষুদ্র সংখ্যা $ϵ$ পাওয়া যায়।  ফ্লোটিং-পয়েন্ট গণনায়, যেকোনো সসীম সংখ্যা যদি $\pm \mathrm{\infty }$ দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ফলস্বরূপ ধনাত্মক বা ঋণাত্মক শূন্য হবে যদি লভ্যাংশ সসীম হয়। অন্যথায়, ফলস্বরূপ হবে NaN (Not a Number)।

অসীম দ্বারা ভাগের সঠিক অর্থ নির্ধারণের সমস্যাগুলো শূন্য দ্বারা ভাগ সংজ্ঞায়িত করার সমস্যার মতোই জটিল।

প্রযুক্তিতে ব্যবহার

চিত্র:Ti 73 Graphing Calculator.jpg

এই ক্যালকুলেটরে কোনো অসীম বোতাম নেই।

যেহেতু অসীমকে বেশিরভাগ ক্যালকুলেটর এবং কম্পিউটারের জন্য পরিচালনা করা কঠিন, তাই অনেকের কাছে অসীম দ্বারা ভাগ করার জন্য কোনও আনুষ্ঠানিক পদ্ধতি নেই। TI-84 এবং অধিকাংশ গৃহস্থালির ক্যালকুলেটরগুলিতে "অসীম" বোতাম না থাকার কারণে "x অসীম দ্বারা ভাগ" ক্যালকুলেটরে টাইপ করা সম্ভব নয়। এর পরিবর্তে ব্যবহারকারীরা একটি বড় সংখ্যা, যেমন "1e99" ($1\times 10^{99}$) বা "-1e99", টাইপ করতে পারেন। যদি কোনও সংখ্যা যথেষ্ট বড় সংখ্যার দ্বারা ভাগ করা হয়, তাহলে ফলাফল ০ হতে পারে। তবে কিছু ক্ষেত্রে এটি ব্যর্থ হতে পারে, যেমন ওভারফ্লো ত্রুটি দেখা দিলে, অথবা যদি লভ্যাংশও যথেষ্ট বড় হয়, তাহলে ফলাফল ১ বা অন্য কোনও বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। ওলফ্রাম ভাষায়, একটি পূর্ণসংখ্যাকে অসীম দ্বারা ভাগ করলে ফলাফল ০ হয়। এছাড়াও, কিছু ক্যালকুলেটরে, যেমন TI-Nspire-এ, ১ কে অসীম দ্বারা ভাগ করলে ফলাফল ০ হিসাবে গণনা করা যায়।

ক্যালকুলাসে ব্যবহার

যোগজীকরণ

টেমপ্লেট:Main article ক্যালকুলাসে একটি ফাংশনের ইন্টিগ্রাল নেওয়া বলতে সেই ফাংশনের কার্ভের নিচের এলাকার মান নির্ধারণ করাকে বোঝায়। এটি সহজভাবে করা যায়, এলাকাটিকে আয়তাকার অংশে ভাগ করে এবং এই অংশগুলোর যোগফল নিয়ে। এই প্রক্রিয়াকে রিমান যোগফল বলা হয়। যখন এই আয়তাকার অংশগুলো আরও সরু করা হয়, তখন রিমান যোগফল প্রকৃত এলাকার আরও সঠিক আনুমানিক মানে পৌঁছায়। রিমান যোগফলের সীমা নেওয়া, যেখানে এই অংশগুলোকে ধারণাগতভাবে "অসীমভাবে সরু" হিসাবে বিবেচনা করা হয়, সেই ফাংশনের নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল প্রদান করে নির্ধারিত ইন্টারভালের উপর। ধারণাগতভাবে, এটি ইন্টারভালটিকে অসীম সংখ্যক ছোট অংশে ভাগ করার সমান।

অন্যদিকে, যখন একটি ইন্টিগ্রালের সীমানার একটি অসীম হয়, সেটিকে একটি অপ্রকৃত ইন্টিগ্রাল বলা হয়। এটি নির্ধারণ করতে হলে একটি চলক -এর মানকে অসীমের দিকে নিয়ে যাওয়ার সীমা নির্ণয় করতে হয়, যেখানে অসীম চিহ্নটির জায়গায়  প্রতিস্থাপন করা হয়। এই পদ্ধতিতে প্রথমে ইন্টিগ্রালটি সমাধান করা হয়, তারপর সীমা নেওয়া হয়। অনেক ক্ষেত্রে এটি এমন একটি পদে পৌঁছায় যা অসীম দ্বারা ভাগ করা হয়। এই পরিস্থিতিতে, ইন্টিগ্রাল গণনা করার জন্য ধরে নেওয়া হয় যে, একটি সংখ্যা অসীম দ্বারা ভাগ করলে ফলাফল শূন্য হয়। এই অনুমানটি ইন্টিগ্রালকে সঙ্কুচিত বলে ধরে নেওয়ার সুযোগ দেয়, অর্থাৎ ইন্টিগ্রালটি থেকে একটি সসীম মান নির্ধারণ করা যায়।

লোপিতালের নিয়ম

টেমপ্লেট:Main article যখন দুটি ফাংশনের মধ্যে একটি অনুপাত দেওয়া হয়, তখন এই অনুপাতের সীমা নির্ধারণ করা যায় প্রতিটি ফাংশনের সীমা আলাদাভাবে গণনা করে। যদি ভগ্নাংশের হর (denominator)-এর সীমা অসীম হয় এবং লব (numerator) এমন হয় যে এটি অনুপাতটিকে নির্ধারণযোগ্য করে না, তখন সেই অনুপাতকে অনির্ধারিত রূপ (indeterminate form) বলা হয়। এর একটি উদাহরণ হতে পারে:

$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$

ল'হোপিটালের নিয়ম ব্যবহার করে এমন ভগ্নাংশের সীমা নির্ধারণ করা যায়, যেখানে হর অসীমের দিকে অগ্রসর হয়, এবং এর ফলে ফলাফল ০ ছাড়া অন্য কিছু হতে পারে। যদি

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

তাহলে

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

তাই যদি

$\underset{x\to c}{\lim }|f(x)|=\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=\mathrm{\infty },$

তাহলে

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L$

এর মানে হল যে, যখন অসীম দ্বারা ভাগের মান নির্ধারণ করতে সীমার ব্যবহার করা হয়, তখন "অসীম দ্বারা ভাগ" করার ফলস্বরূপ সব সময় ০ হয় না।

বহিঃসংযোগ

• বিল শিলিটোর দ্বারা শূন্য দ্বারা কীভাবে ভাগ করা যায়