আগোহ–গিউগা অনুমান

আগোহ–গিউগা অনুমান সংখ্যাতত্ত্বের একটি অমীমাংসিত সমস্যা, যা মৌলিক সংখ্যার গঠন সম্পর্কিত গভীর সংযোগ প্রদান করে। এটি দুটি পৃথক ধারণা—গিউগা অনুমান (১৯৫০) ও আগোহের অনুমান (১৯৯০)—কে একীভূত করে!

গিউগা অনুমান

গিউগা সংখ্যা (Giuga Number)

একটি যৌগিক সংখ্যা $n$ কে গিউগা সংখ্যা বলা হয় যদি এটি নিচের শর্ত পূরণ করে: $$\sum _{p\mid n}\frac{1}{p}-\frac{1}{n}\in \mathbb{Z},$$ যেখানে $p$ হলো $n$-এর মৌলিক উৎপাদক।

গিউগার মূল অনুমান

"একটি সংখ্যা $n$ মৌলিক হবে যদি এবং কেবল যদি $\sum _{p\mid n}\frac{1}{p}-\frac{1}{n}\notin \mathbb{Z}$ (অর্থাৎ, কোনো গিউগা সংখ্যা মৌলিক নয়)।"

উদাহরণ:

• ৩০: একটি গিউগা সংখ্যা, কারণ $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{30}=1\in \mathbb{Z}$।
• ৮৫৮: আরেকটি গিউগা সংখ্যা।

আগোহের অনুমান

বার্নোলি সংখ্যার সাথে সম্পর্ক: বার্নোলি সংখ্যা $B_k$ হল মূলদ সংখ্যার একটি অনুক্রম, যা সংখ্যাতত্ত্বে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে। আগোহের অনুমান নিম্নরূপ: "একটি সংখ্যা $n\ge 2$ মৌলিক হবে যদি এবং কেবল যদি $$n{B}_{n-1}\equiv -1(\mathrm{mod}n),$$ যেখানে $B_{n-1}$ হলো $(n-1)$-তম বার্নোলি সংখ্যা।"

আগোহ-গিউগা অনুমানের সমতুল্যতা

১৯৯০-এর দশকে তাকাশি আগোহ প্রমাণ করেন যে গিউগা অনুমান ও আগোহের অনুমান গাণিতিকভাবে সমতুল্য। অর্থাৎ, একটি অনুমান সত্য হলে অন্যটিও সত্য। এদের যৌথ নাম আগোহ–গিউগা অনুমান।

গাণিতিক সংযোগ:

• যদি $n$ মৌলিক হয়, তবে $n{B}_{n-1}\equiv -1(\mathrm{mod}n)$ (ফার্মার ছোট উপপাদ্যের সম্প্রসারণ)।
• অনুমান: বিপরীতটিও সত্য, অর্থাৎ কোনো যৌগিক সংখ্যা $n$ এই শর্ত পূরণ করবে না।

উইলসনের উপপাদ্যের সাথে সম্পর্ক

আগোহ–গিউগা অনুমান উইলসনের উপপাদ্যের সাথে সম্পর্কিত। উইলসনের উপপাদ্য অনুসারে, একটি সংখ্যা p মৌলিক সংখ্যা হবে কেবল এবং কেবল যদি—

$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p),$

যা নিন্মোক্ত উপায়েও লিখা যায়:

$\prod _{i=1}^{p-1}i\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা p এর জন্য আমরা পাই,

$\prod _{i=1}^{p-1}{i}^{p-1}\equiv (-1{)}^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p),$

এবং p=2 হলে,

$\prod _{i=1}^{p-1}{i}^{p-1}\equiv (-1{)}^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$

সুতরাং, যদি আগোহ–গিউগা অনুমান সত্য হয় এবং এটির সাথে উইলসনের উপপাদ্যের সম্পর্ক স্থাপন করা হয়, তবে আমরা পাবো: একটি সংখ্যা p তখনই মৌলিক সংখ্যা হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি—

$\sum _{i=1}^{p-1}{i}^{p-1}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$

এবং

$\prod _{i=1}^{p-1}{i}^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$

গুরুত্ব ও গবেষণার অবস্থা

• মৌলিক সংখ্যার নতুন বৈশিষ্ট্য: অনুমান প্রমাণিত হলে মৌলিক সংখ্যাকে বার্নোলি সংখ্যার মাধ্যমে চিহ্নিত করার একটি নতুন পদ্ধতি পাওয়া যাবে।
• গণনামূলক যাচাই: $10^{13}$ পর্যন্ত সকল যৌগিক সংখ্যার জন্য শর্তটি মিথ্যা বলে প্রমাণিত।
• উন্মুক্ত প্রশ্ন: কোনো যৌগিক সংখ্যা $n$ কি $n{B}_{n-1}\equiv -1(\mathrm{mod}n)$ শর্ত পূরণ করতে পারে?

গিউগা সংখ্যার বৈশিষ্ট্য

শর্তসমূহ

• $n$ অবশ্যই বর্গমুক্ত (square-free)।
• প্রতিটি মৌলিক উৎপাদক $p$-এর জন্য $p\mid (\frac{n}{p}-1)$।
• জানা গিউগা সংখ্যা: ৩০, ৮৫৮, ১৭২২, ৬৬১৯৮ ইত্যাদি।

গবেষণার দিকনির্দেশ

• যদি অনুমান মিথ্যা হয়: এমন একটি যৌগিক সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যা $n{B}_{n-1}\equiv -1(\mathrm{mod}n)$ শর্ত পূরণ করে।
• যদি প্রমাণিত হয়: মৌলিক সংখ্যার নতুন শ্রেণিবিন্যাস সম্ভব।

এই বিবৃতিটি এখনো একটি অনুমান কারণ এটি এখনো প্রমাণ করা যায়নি যে যদি কোনো সংখ্যা n মৌলিক সংখ্যা না হয় (অর্থাৎ, n একটি যৌগিক সংখ্যা হয়), তবে সূত্রটি প্রযোজ্য হবে না। এটি প্রমাণিত হয়েছে যে একটি যৌগিক সংখ্যা n সূত্রটিকে সিদ্ধ করবে তখনই যখন এটি একই সাথে একটি কারমাইকেল সংখ্যা এবং একটি গিউগা সংখ্যা হবে। এছাড়াও, যদি এমন কোনো সংখ্যা থেকে থাকে, তবে তার অন্তত 13,800টি অঙ্ক থাকবে (Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn, 1996)।

2001 সালে লেয়ার্টে সোরিনি তার এক গবেষণায় দেখিয়েছিলেন যে, যদি কোনো প্রতিউদাহরণ (counterexample) থেকে থাকে, তবে সেই সংখ্যা n অবশ্যই 10³⁶⁰⁶⁷ এর চেয়েও বড় হবে, যা বেদোচি কর্তৃক প্রস্তাবিত সীমার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ।

আগোহ–গিউগা অনুমান সংখ্যাতত্ত্বের একটি মৌলিক সমস্যা, যা মৌলিক ও যৌগিক সংখ্যার মধ্যে গভীর সংযোগ প্রকাশ করে। বার্নোলি সংখ্যা, মডুলার অ্যারিথমেটিক, এবং মৌলিক সংখ্যার গঠনের জটিল সম্পর্ক এই অনুমানের কেন্দ্রে অবস্থিত। যদিও গণনামূলক প্রমাণগুলি অনুমানকে সমর্থন করে, কঠিন গাণিতিক প্রমাণ এখনও অপেক্ষমান।

তথ্যসূত্র

• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি