আনুষ্ঠানিক গণনা

গাণিতিক যুক্তিতে, একটি আনুষ্ঠানিক গণনা, বা আনুষ্ঠানিক অপারেশন, একটি গণনা যা পদ্ধতিগত কিন্তু কঠোর সঠিকতার প্রমাণ ছাড়াই। এটি এমন একটি প্রকাশে প্রতীকগুলি পরিবর্তনের জন্য একটি সাধারণ প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে প্রয়োজনীয় শর্তগুলি প্রমাণিত না করে জড়িত। মূলত, এটি একটি প্রকাশের ফর্ম নিয়ে কাজ করে যার অন্তর্নিহিত অর্থ বিবেচনা না করে। এই যৌক্তিকতা হয় কিছু বিবৃতি সত্য হওয়ার ইতিবাচক প্রমাণ হিসাবে কাজ করতে পারে যখন এটি প্রমাণ সরবরাহ করা কঠিন বা অপ্রয়োজনীয় হয় অথবা নতুন (সম্পূর্ণ কঠোর) সংজ্ঞার সৃষ্টির জন্য অনুপ্রেরণা হিসাবে কাজ করতে পারে। তবে, আনুষ্ঠানিক শব্দটির এই ব্যাখ্যাটি সর্বজনীনভাবে গৃহীত নয়, এবং কিছু লোক এটি সম্পূর্ণ বিপরীত অর্থে বিবেচনা করেন: একটি সম্পূর্ণ কঠোর যুক্তি, যেমন গণিতিক যুক্তিতে।

উদাহরণ

আনুষ্ঠানিক গণনা একটি প্রসঙ্গে ভুল কিন্তু অন্য প্রসঙ্গে সঠিক ফলাফলের দিকে নিয়ে যেতে পারে। সমীকরণ

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n=\frac{1}{1-q}$

ধরে যদি q এর পরম মান 1 এর কম হয়। এই সীমাবদ্ধতা উপেক্ষা করে, এবং q = 2 এর সাথে প্রতিস্থাপন করে

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n=-1$

প্রথম সমীকরণের প্রমাণে q=2 প্রতিস্থাপন করে, একটি আনুষ্ঠানিক গণনা ফলাফলের সমীকরণটি তৈরি করে। তবে এটি বাস্তব সংখ্যার জন্য ভুল, যেহেতু ধারাবাহিকতা সমাকলন করে না। তবে, অন্যান্য প্রসঙ্গে (যেমন, 2-adic সংখ্যার সাথে কাজ করা, অথবা 2 এর শক্তির মডুলোর সাথে পূর্ণসংখ্যার সাথে), ধারাবাহিকতা সমাকলন করে। আনুষ্ঠানিক গণনা বোঝায় যে শেষ সমীকরণটি সেই প্রসঙ্গগুলিতে বৈধ হতে হবে।

আরেকটি উদাহরণ q=-1 প্রতিস্থাপন করে প্রাপ্ত হয়। ফলাফল ধারাবাহিকতা 1-1+1-1+... বিকল্পভাবে (বাস্তব এবং p-adic সংখ্যার উপরে) তবে একটি মান অন্য সমাকলন পদ্ধতি যেমন সিজারো সমাকলন ব্যবহার করে বরাদ্দ করা যেতে পারে। ফলাফল মান, 1/2, আনুষ্ঠানিক গণনা দ্বারা প্রাপ্ত মানের সাথে একই।

আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজ

আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজ একটি ধারণা যা বাস্তব বিশ্লেষণ থেকে পাওয়ার সিরিজ এর ফর্ম গ্রহণ করে। শব্দটি "আনুষ্ঠানিক" নির্দেশ করে যে সিরিজটি সমাকলন করতে হবে না। গণিতে, এবং বিশেষত বীজগণিতে, একটি আনুষ্ঠানিক সিরিজ একটি অসীম সমষ্টি যা সমাকলনের কোনো ধারণা থেকে স্বাধীনভাবে বিবেচিত হয় এবং সিরিজের উপর বীজগণিত ক্রিয়াকলাপগুলি (যোগ, বিয়োগ, গুণ, বিভাগ, আংশিক সমষ্টি, ইত্যাদি) দ্বারা পরিচালিত হতে পারে।

একটি আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজ একটি বিশেষ ধরনের আনুষ্ঠানিক সিরিজ, যা একটি পলিনোমিয়ালের সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে, যেখানে পদগুলির সংখ্যা অসীম হতে পারে, কোন সমাকলনের প্রয়োজনীয়তা ছাড়াই। তাই, সিরিজটি আর তার পরিবর্তনশীলের একটি ফাংশন উপস্থাপন করতে পারে না, শুধুমাত্র একটি আনুষ্ঠানিক সহগ ক্রম, একটি পাওয়ার সিরিজের বিপরীতে, যা সমাকলনের ব্যাসার্ধের মধ্যে পরিবর্তনশীলের জন্য সংখ্যার মানগুলি গ্রহণ করে একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে। একটি আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজে, পরিবর্তনশীলের শক্তিগুলি শুধুমাত্র সহগগুলির জন্য অবস্থান-ধারক হিসাবে ব্যবহৃত হয়, যাতে $x^5$ এর সহগটি ক্রমের পঞ্চম পদ হয়। সমাবেশে, উৎপাদন ফাংশনের পদ্ধতি আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে সংখ্যার ক্রম এবং বহুসমষ্টি উপস্থাপন করে, উদাহরণস্বরূপ, পুনরাবৃত্তি সংজ্ঞায়িত ক্রমগুলির জন্য সংক্ষিপ্ত অভিব্যক্তি অনুমতি দেয় যার পুনরাবৃত্তি স্পষ্টভাবে সমাধান করা যায় কিনা তা নির্বিশেষে। আরও সাধারণভাবে, আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজের মধ্যে কোন সীমিত (বা গণনাযোগ্য) সংখ্যার পরিবর্তনশীল সহ সিরিজ অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে, এবং একটি ইচ্ছাধীন রিংয়ে সহগ সহ।

আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজের রিংগুলি সম্পূর্ণ স্থানীয় রিং, যা বীজগণিত জ্যামিতি এবং সমিতিগত বীজগণিতে সম্পূর্ণ বীজগণিত কাঠামোতে ক্যালকুলাস-সদৃশ পদ্ধতিগুলিকে সমর্থন করে। তারা p-এর শক্তির আনুষ্ঠানিক সিরিজ হিসাবে সংজ্ঞায়িত p-adic পূর্ণসংখ্যার সাথে তুলনীয়।

প্রতীক মান নিয়ন্ত্রণ

পার্থক্য সমীকরণ

লেইবনিজের নোটেশন দেখুন অন্তর্গত সমীকরণ সমাধান করতে

$\frac{dy}{dx}=y^2$

এই প্রতীকগুলি সাধারণ বীজগণিত প্রতীক হিসাবে বিবেচিত হতে পারে, এবং এই পদক্ষেপের বৈধতা সম্পর্কে কোন সঠিকতা প্রদান না করে, আমরা উভয় পক্ষের বিপরীত গ্রহণ করি:

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y^2}$

একটি সহজ প্রতিবিপরীত:

$x=\frac{-1}{y}+C$

$y=\frac{1}{C-x}$

কারণ এটি একটি আনুষ্ঠানিক গণনা, এটি গ্রহণযোগ্য $C=\mathrm{\infty }$ হতে এবং আরেকটি সমাধান পেতে:

$y=\frac{1}{\mathrm{\infty }-x}=\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$

চূড়ান্ত সমাধানগুলি যাচাই করা যেতে পারে যে তারা সমীকরণটি সমাধান করে তা নিশ্চিত করতে।

ক্রস পণ্য

টেমপ্লেট:আরও দেখুন ক্রস পণ্যটি নিম্নলিখিত ডিটারমিন্যান্ট হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|$

যেখানে $(𝐢,𝐣,𝐤)$ একটি ধনাত্মক মুখী অর্হোনরমাল ভিত্তি একটি ত্রিমাত্রিক মুখী ইউক্লিডিয়ান ভেক্টর স্পেস, যখন $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ হল স্কেলার যা $𝐚=a_1𝐢+a_2𝐣+a_3𝐤$ হিসাবে $𝐛$ এর জন্য অনুরূপ।

এছাড়াও দেখুন

• আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজ
• গণিতিক যুক্তি

তথ্যসূত্র

• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি