এপোলোনিয়াসের সমস্যা

সমতলীয় ইউক্লীডিয় জ্যামিতিতে এপোলোনিয়াসের সমস্যাটি হলোঃ এমন বৃত্ত আঁকতে হবে যা সমতলে অবস্থিত প্রদত্ত তিনটি বৃত্তের ট্যানজেন্ট হবে (চিত্র ১) পেরগা'র এপোলোনিয়াস (খ্রীষ্ট পূর্ব ২৬২ থেকে খ্রীষ্ট পূর্ব ১৯০, অথবা এর কাছাকাছি) নিজে এই সমস্যা তৈরী করে নিজেই সমাধান করেন। তার সমাধান তার বই Ἐπαφαί (Epaphaí বা ট্যানজেন্সিস) এ উল্লেখ করেন; তার এই কর্ম হারিয়ে গিয়েছিল, কিন্তু খ্রীষ্টিয় ৪র্থ শতকের এক পাপ্পাস অব আলেক্সান্দ্রিয়াএর প্রতিবেদন অনুসারে বলা হয়েছে এপোলোনিয়াসের উক্ত কর্মটি টিকে আছে। প্রদত্ত তিনটি বৃত্তের আটটি ভিন্ন ভিন্ন বৃত্ত রয়েছে যারা বৃত্তগুলোর ট্যানজেন্ট (চিত্র ২) এবং প্রত্যেকটি সমাধানই প্রদত্ত তিনটি বৃত্ত ভিন্ন ভিন্ন পথ ঘেঁষে যায়ঃ প্রতিটি সমাধানে, একটি ভিন্ন উপসেট তিনটি বৃত্ত ঘিরে রাখে (এর পরিপূরক বাদে) এবং এখানে একটি সেটের আটটি করে উপসেট আছে যাদের সদস্য সংখ্যা হলো ৩, যখন ৮=২^৩। ১৬ শতকে, আদ্রিয়ান ভ্যান রুমেন এই সমস্যাটি ছেদকৃত পরাবৃত্ত দিয়ে সমাধান করেন, কিন্তু এই সমাধানটি কেবল রুলার এবং কম্পাস ব্যবহার করে করা যায়না। ফ্রান্সিস ভিয়েত কিছু লিমিটিং কেইস কাজে লাগিয়ে একটি সমাধান তৈরী করেনঃ এখানে তিনটি বৃত্তের যেকোনো একটি বৃত্ত একেবারে সংকুচিত হয়ে যেতে পারে যার ব্যাসার্ধ হবে শূন্য (একটি বিন্দু) অথবা ব্যাসার্ধ বেড়ে একেবারে অসীমও হয়ে যেতে পারে (একটি রেখা)। ভিয়েতের এই সহজ পদ্ধতি অনেক কঠিন সমস্যা সমাধানেও ব্যবহৃত হয়, এবং একে এপোলোনিয়াসের পদ্ধতির যুক্তিযুক্ত পুনর্গঠন বলে বিবেচনা করা হয়। আইজ্যাক নিউটন ভ্যান রুমেনের পদ্ধতিটিকে আরো সহজ করে তুলেন, তিনি দেখিয়েছেন এপোলোনিয়াসের এই সমস্যা তিনটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে একটি নির্দিষ্ট স্থান খোঁজার সমতুল্য। এই ধারণাটি লোরান এর মত অনেক ন্যাভিগেশন এবং পজিশনিং সিস্টেমে ব্যবহার করা হয়।

সমাধান পদ্ধতি

ছেদকৃত পরাবৃত্ত

চিত্র ৪: বৃত্তসমূহের মধ্যে অবস্থিত ট্যানজেন্সি যদি তাদের ব্যাসার্ধ সমপরিমাণে পরিবর্তিত হয়। একটি গোলাপী বৃত্ত অবশ্যই সংকুচিত বা স্ফীত হবে একটি অন্তঃস্থ বৃত্তের সাথে (ডানের কালো বৃত্ত), যখন বহিঃস্থ ট্যানজেন্ট বৃত্তগুলো ( বাম পাশের কালো বৃত্তগুলো) বিপরীত ভাবে সংকুচিত বা প্রসারিত হবে।

বীজগাণিতিক সমাধান

{(x_{s} - x_{1})}^{2} + {(y_{s} - y_{1})}^{2} = {(r_{s} - s_{1} r_{1})}^{2}

{(x_{s} - x_{2})}^{2} + {(y_{s} - y_{2})}^{2} = {(r_{s} - s_{2} r_{2})}^{2}

{(x_{s} - x_{3})}^{2} + {(y_{s} - y_{3})}^{2} = {(r_{s} - s_{3} r_{3})}^{2} .

x_{s} = M + N r_{s}

y_{s} = P + Q r_{s}

লেও গোলক জ্যামিতি

(X_{1} | X_{2}) : = v_{1} w_{2} + v_{2} w_{1} + 𝐜_{1} \cdot 𝐜_{2} - s_{1} s_{2} r_{1} r_{2} .

(X_{1} - X_{2} | X_{1} - X_{2}) = 2 (v_{1} - v_{2}) (w_{1} - w_{2}) + (𝐜_{1} - 𝐜_{2}) \cdot (𝐜_{1} - 𝐜_{2}) - {(s_{1} r_{1} - s_{2} r_{2})}^{2} .

(X_{1} - X_{2} | X_{1} - X_{2}) = (X_{1} | X_{1}) - 2 (X_{1} | X_{2}) + (X_{2} | X_{2}) .

- 2 (X_{1} | X_{2}) = {| 𝐜_{1} - 𝐜_{2} |}^{2} - {(s_{1} r_{1} - s_{2} r_{2})}^{2} .

{| 𝐜_{1} - 𝐜_{2} |}^{2} = {(r_{1} - r_{2})}^{2} .

{| 𝐜_{1} - 𝐜_{2} |}^{2} = {(r_{1} + r_{2})}^{2} .

(X_{s o l} | X_{s o l}) = (X_{s o l} | X_{1}) = (X_{s o l} | X_{2}) = (X_{s o l} | X_{3}) = 0

বিপরীত পদ্ধতি

\overline{𝐎 𝐏} \cdot \overline{𝐎 𝐏^{'}} = R^{2} .

বিপরীতকরণের মাধ্যমে সমাধান জোট

এনুলাসের বিপরীতিকরণ

\cos θ = \frac{d_{s}^{2} + d_{n o n}^{2} - d_{T}^{2}}{2 d_{s} d_{n o n}} \equiv C_{\pm} .

θ = \pm 2 a t a n (\sqrt{\frac{1 - C}{1 + C}}) .

জিরগনি'র সমাধান

\overline{X_{3} A_{1}} \cdot \overline{X_{3} A_{2}} = \overline{X_{3} B_{1}} \cdot \overline{X_{3} B_{2}}

ছেদ তত্ত্ব

{[X : Y : Z] \in 𝐏^{2} : A X^{2} + B X Y + C Y^{2} + D X Z + E Y Z + F Z^{2} = 0} \leftrightarrow [A : B : C : D : E : F] \in 𝐏^{5} .

A + B i - C = 0,

A - B i - C = 0 .

A = C

and

B = 0

.

(X - a Z)^{2} + (Y - b Z)^{2} = r^{2} Z^{2},

Φ = {(r, C) \in D \times 𝐏^{3} : C is tangent to D at r} .

Ψ = {(D_{1}, D_{2}, D_{3}, C) \in (𝐏^{3})^{4} : C is tangent to all D_{i}} .

বিশেষ ক্ষেত্র

বিন্দু, বৃত্ত এবং রেখার ১০টি সমন্বয়

ছক ১: এপোলোনিয়েসের সমস্যার ১০ টি ভেদ
ক্রম	কোড	প্রদত্ত বিষয়বস্তু	সমাধান সংখ্যা (সাধারণ ভাবে)
১	PPP	তিনটি বিন্দু	১
২	LPP	একটি রেখা এবং দুইটি বিন্দু	২
৩	LLP	দুইটি রেখা এবং একটি বিন্দু	২
৪	CPP	একটি বৃত্ত এবং দুইট বিন্দু	২
৫	LLL	তিনটি রেখা	৪
৬	CLP	একটি বৃত্ত, একটি রেখা এবং একটি বিন্দু	৪
৭	CCP	দুইটি বৃত্ত এবং একটি বিন্দু	৪
৮	CLL	একটি বৃত্ত এবং দুইটি রেখা	৮
৯	CCL	দুইটি বৃত্ত এবং একটি রেখা	৮
১০	CCC	তিনটি বৃত্ত (চিরায়ত সমস্যা)	৮