এবিসি অনুমান

ফরাসী গণিতবিদ জোসেফ ওস্টারলি

ব্রিটিশ গণিতবিদ ডেভিড ম্যাসার

এবিসি অনুমান সংখ্যা তত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ অনুমান যা ১৯৮৫ সালে জোসেফ ওয়েস্টারলি এবং ডেভিড ম্যাসার প্রস্তাব করেন। এই অনুমানটি তিনটি পরস্পর সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা $a$, $b$ এবং $c$ এর মধ্যে সম্পর্ক বিশ্লেষণ করে, যেখানে $a+b=c$। অনুমান অনুযায়ী, $abc$ এর স্বতন্ত্র মৌলিক উৎপাদকগুলির গুণফল (যাকে র‍্যাডিক্যাল বলা হয়) সাধারণত $c$ এর তুলনায় যথেষ্ট ছোট হয় না।

গাণিতিক বিবৃতি

যেকোনো ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র $ϵ>0$ এর জন্য একটি ধ্রুবক $K_{ϵ}$ বিদ্যমান, যাতে সকল সহমৌলিক ত্রয়ী $(a,b,c)$ এর জন্য নিম্নোক্ত অসমতা প্রতিষ্ঠিত হয়: $c<K_{ϵ}\cdot \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc{)}^{1+ϵ}$ এখানে $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc)$ হল $abc$ এর সকল স্বতন্ত্র মৌলিক উৎপাদকের গুণফল।

উচ্চতা এবং র‍্যাডিক্যাল এর সংজ্ঞা হলো: $h(a,b,c)=\log (\max \{|a|,|b|,|c|\})$ $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc)=\prod _{p\mid abc}p$ যেখানে $p$ হলো $abc$-কে ভাগ করে এমন মৌলিক সংখ্যা।

প্রভাব ও তাৎপর্য

এই অনুমান সত্য হলে, সংখ্যা তত্ত্বের বহু অমীমাংসিত সমস্যার সমাধান সম্ভবপর হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ:

• ফার্মার শেষ উপপাদ্য: $n\ge 6$ এর জন্য $x^n+y^n=z^n$ সমীকরণের কোনো নন-ট্রিভিয়াল সমাধান নেই।
• ক্যাটালান অনুমান: $3^2-2^3=1$ ছাড়া অন্য কোনো পরপর পূর্ণসাংখ্যিক ঘাত পাওয়া যাবে না।
• এলিপ্টিক কার্ভ-সংক্রান্ত স্পিরো অনুমানের সমতুল্য।

ঐতিহাসিক পটভূমি

• ১৯৮৫: ওয়েস্টারলি ও ম্যাসার আনুষ্ঠানিকভাবে অনুমানটি উপস্থাপন করেন।
• ২০১২: শিনিচি মোচিজুকি ৫০০ পৃষ্ঠার একটি প্রমাণ দাবি করেন, তবে গণিত বিশ্বে ব্যাপক স্বীকৃতি পায়নি।

উদাহরণ

যদি $a=2^{10}=1024$ এবং $b=5^8=390625$ নেওয়া হয়, তবে $c=391649=457\times 857$। এখানে, $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(abc)=2\times 5\times 457\times 857=3908570$ যা $c$ এর মানের নিকটবর্তী বলে ধরা হয়।

বিতর্ক ও চলমান গবেষণা

মোচিজুকির প্রমাণ, যাকে "ইন্টার-ইউনিভার্সাল টিজমুরি" বলা হয়, একটি জটিল কাঠামো ব্যবহার করে, যা বিশেষজ্ঞদের একটি ক্ষুদ্র দল ব্যতীত অধিকাংশের বোধগম্য নয়। বর্তমানে এই প্রমাণের বৈধতা নিয়ে গাণিতিক সম্প্রদায়ের মধ্যে বিতর্ক বিদ্যমান। টেমপ্লেট:অসম্পূর্ণ