এর্ডশ–বোরওয়েইন ধ্রুবক

এর্ডশ–বোরওয়েইন ধ্রুবক একটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক ধ্রুবক। পল এর্ডশ এবং পিটার বোরওয়েইন এই দুই গণিতবিদের নামানুসারে এই গাণিতিক ধ্রুবকটির নামকরণ করা হয়। এটি মার্সেন সংখ্যার ব্যস্তানুপাতের যোগফল।

সংজ্ঞা অনুসারে এই গাণিতিক ধ্রুবকটিকে নিম্নরূপে লেখা হয়:

$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n-1}\approx 1.606695152415291763\dots$

সমতুল্য ফর্ম

প্রমাণ করে পাওয়া গিয়েছে যে, নিম্নলিখিত ফর্মগুলি এর্ডশ–বোরওয়েইন ধ্রুবকের সমতুল্য ফর্ম:

$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}$

$E=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{mn}}$

$E=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n(2^n-1)}$

$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_0(n)}{2^n}$

যেখানে σ₀( n ) = d ( n ) হলো গুণনীয়ক ফাংশন যেটি একটি গুণক ফাংশন যা n সংখ্যার ধনাত্মক ভাজকের সংখ্যার সমান। এই যোগফলের সমতা প্রমাণ করার সময় মনে রাখতে হবে যে এগুলি সবই ল্যাম্বার্ট সিরিজ বা ক্রমের রূপ নেয়।

অমূলদ ধর্ম

১৯৪৮ সালে এর্ডশ দেখিয়েছিলেন যে গাণিতিক ধ্রুবক E একটি অমূলদ সংখ্যা। পরে পিটার বোরওয়েইন এর একটি বিকল্প প্রমাণও প্রদান করেন।

এই গাণিতিক ধ্রুবকটির অমূলদ ধর্ম থাকা সত্ত্বেও এর্ডশ–বোরওয়েইন ধ্রুবকের সাহায্যে বাইনারি সংখ্যাগণন বা দ্বিমিক সংখ্যাপদ্ধতিতে দক্ষতার সাথে গণনার কাজ করা যেতে পারে।

প্রয়োগ

এর্ডশ–বোরওয়েইন ধ্রুবকটি হিপ সর্ট অ্যালগরিদমের গড় বিশ্লেষণের সময় পাওয়া যায়। সেখানে এটি আইটেমগুলির একটি সাজানো না হওয়া অর্থাৎ অগোছালো সারিকে একটি হিপে রূপান্তর করার জন্য চলমান সময়ের ধ্রুবক ফ্যাক্টরকে নিয়ন্ত্রণ করে। কম্পিউটার বিজ্ঞানে হিপসর্ট হলো একটি তুলনা ভিত্তিক বাছাইকরণ অ্যালগরিদম।

বহিঃসংযোগ

• টেমপ্লেট:MathWorld