কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব

কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব হচ্ছে আর্থার কেলি ও উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টনের নামে নামকরণকৃত রৈখিক বীজগণিতের একটি তত্ত্ব। এ তত্ত্ব অনুসারে প্রত্যেক বর্গ ম্যাট্রিক্স তার ক্যারেক্টারিস্টিক সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

যদি টেমপ্লেট:Mvar একটি প্রদত্ত টেমপ্লেট:Math ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং টেমপ্লেট:Math যদি টেমপ্লেট:Math ক্রমের অভেদ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে টেমপ্লেট:Mvar-এর ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদীকে সঙ্গায়িত করা যায় এভাবে: $p_A(\lambda )=\det (\lambda I_n-A)$। এখানে টেমপ্লেট:Math হচ্ছে নির্ণায়ক এবং টেমপ্লেট:Mvar একটি চলক। যেহেতু $(\lambda I_n-A)$ ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিগুলো টেমপ্লেট:Mvar এর (রৈখিক বা ধ্রুবক) বহুপদী, তাই নির্ণায়কও হবে টেমপ্লেট:Mvar এর এক চলক বিশিষ্ট টেমপ্লেট:Mvar-ঘাতী বহুপদী, $p_A(\lambda )={\lambda }^n+c_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +c_1\lambda +c_0$। টেমপ্লেট:Mvar ম্যাট্রিক্সে স্কেলার চলক টেমপ্লেট:Mvar-এর পরিবর্তে সদৃশ বহুপদী $p_A(A)$ তৈরি করা যায়, যা এভাবে সঙ্গায়িত হয় $p_A(A)=A^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_0{I}_n$। কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুসারে এই বহুপদী রাশিটি শূন্য ম্যাট্রিক্সের সমান, অর্থাৎ $p_A(A)=\mathrm{𝟎}$।

উদাহরণ

টেমপ্লেট:Math ম্যাট্রিক্স

টেমপ্লেট:Math ক্রমের একটি ম্যাট্রিক্স টেমপ্লেট:Math এর জন্য, ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী টেমপ্লেট:Math, আর তাই টেমপ্লেট:Math

টেমপ্লেট:Math ম্যাট্রিক্স

উদাহরণস্বরূপ, ধরি

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$।

এর ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী

$p(\lambda )=\det (\lambda I_2-A)=\det \left(\begin{array}{cc}\lambda -1& -2\\ -3& \lambda -4\end{array}\right)=(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)={\lambda }^2-5\lambda -2$

কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুযায়ী, যদি সঙ্গায়িত করা হয়

$p(X)=X^2-5X-2I_2,$

তখন

$p(A)=A^2-5A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$।

আমরা গণনার মাধ্যমে যাচাই করতে পারি,

$A^2-5A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}7& 10\\ 15& 22\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}5& 10\\ 15& 20\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

সাধারণভাবে কোনো টেমপ্লেট:Math ম্যাট্রিক্স,

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ এর জন্য ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী টেমপ্লেট:Math। সুতরাং কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুসারে

$p(A)=A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right);$

$A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2$

$=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ac+cd& bc+d^2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}a(a+d)& b(a+d)\\ c(a+d)& d(a+d)\end{array}\right)+(ad-bc)I_2$

$=\left(\begin{array}{cc}bc-ad& 0\\ 0& bc-ad\end{array}\right)+(ad-bc)I_2$

$=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ টেমপ্লেট:Collapse bottom

বহিঃসংযোগ

• টেমপ্লেট:Springer
• টেমপ্লেট:ওয়েব উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:ওয়েব উদ্ধৃতি