ক্রিস্ট-কিসেলেভের সর্বাধিক অসমতা

গণিতে, ক্রিস্ট-কিসেলেভের সর্বাধিক অসমতা হলো পরিস্রাবণের জন্য সর্বাধিক অসমতা, যা গণিতবিদ মাইকেল ক্রিস্ট এবং আলেকজান্ডার কিসেলেভের নামে নামকরণ করা হয়েছে।

ক্রমাগত পরিস্রাবণ

ক্রমাগত পরিস্রাবণের ($(M,\mu )$) হলো পরিমাপযোগ্য সেটের একটি পরিবার $\{A_{\alpha }{\}}_{\alpha \in ℝ}$

1. $A_{\alpha }\nearrow M$, $\bigcap _{\alpha \in ℝ}{A}_{\alpha }=\mathrm{\varnothing }$, and $\mu (A_{\beta }\setminus A_{\alpha })<\mathrm{\infty }$ for all $\beta >\alpha$ (stratific, স্ট্র্যাটিফিক)
2. $\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\mu (A_{\alpha +\epsilon }\setminus A_{\alpha })=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\mu (A_{\alpha }\setminus A_{\alpha +\epsilon })=0$ (continuity, ধারাবাহিকতা)

উদাহরণস্বরূপ, $ℝ=M$ পরিমাপ সঙ্গে $\mu$, যার কোন বিশুদ্ধ বিন্দু নেই এবং

$A_{\alpha }:=\{\begin{array}{cc}\{|x|\le \alpha \},& \alpha >0,\\ \mathrm{\varnothing },& \alpha \le 0.\end{array}$

হলো একটি ক্রমাগত পরিস্রাবণ।

কন্টিনিউম সংস্করণ

ধরি,$1\le p<q\le \mathrm{\infty }$ এবং মনে করি $T:L^p(M,\mu )\to L^q(N,\nu )$ হলো $\sigma -$সীমার $(M,\mu ),(N,\nu )$ একটি সীমাবদ্ধ লিনিয়ার অপারেটর। ক্রিস্ট-কিসেলেভের সর্বাধিক ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে পাই-

$T^{*}f:=\underset{\alpha }{\sup }|T(f{\chi }_{\alpha })|,$

যেখানে ${\chi }_{\alpha }:={\chi }_{A_{\alpha }}$। পরবর্তীতে $T^{*}:L^p(M,\mu )\to L^q(N,\nu )$ একটি সীমাবদ্ধ অপারেটর হবে, এবং

$\Vert T^{*}f{\Vert }_q\le 2^{-(p^{-1}-q^{-1})}(1-2^{-(p^{-1}-q^{-1})}{)}^{-1}\Vert T\Vert \Vert f{\Vert }_p.$

বিচ্ছিন্ন সংস্করণ

ধরি, $1\le p<q\le \mathrm{\infty }$ এবং মনে করি $W:{\ell }^p(\mathbb{Z})\to L^q(N,\nu )$ হলো $\sigma -$সীমা $(M,\mu ),(N,\nu )$ এর জন্য একটি সীমাবদ্ধ লিনিয়ার অপারেটর। $a\in {\ell }^p(\mathbb{Z})$ এর জন্য, সংজ্ঞা থেকে পাই-

$({\chi }_{n}a):=\{\begin{array}{cc}{a}_k,& |k|\le n\\ 0,& \text{otherwise}.\end{array}$

এবং $\underset{n\in {\mathbb{Z}}^{\ge 0}}{\sup }|W({\chi }_{n}a)|=:W^{*}(a)$। পরবর্তীতে $W^{*}:{\ell }^p(\mathbb{Z})\to L^q(N,\nu )$ একটি সীমাবদ্ধ অপারেটর হবে।

এখানে, $A_{\alpha }=\{\begin{array}{cc}[-\alpha ,\alpha ],& \alpha >0\\ \mathrm{\varnothing },& \alpha \le 0\end{array}$.

বিচ্ছিন্ন সংস্করণটি কনটিনিউম সংস্করণ থেকে প্রমাণ করা যায়, $T:L^p(ℝ,dx)\to L^q(N,\nu )$ গঠনের মাধ্যমে।

প্রয়োগ

ফুরিয়ার রূপান্তর এবং ফুরিয়ার সিরিজ সম্মিলনের পাশাপাশি স্রোডিঙ্গারের অপারেটরদের অধ্যয়নের ক্ষেত্রে ক্রিস্ট-কিসেলেভ সর্বাধিক অসমতার প্রয়োগ রয়েছে।