খসড়া:ব্রোকার্ডের সমস্যা

টেমপ্লেট:AFC submission টেমপ্লেট:এর সাথে বিভ্রান্ত হবেন না টেমপ্লেট:অপ্রমাণিত ব্রোকার্ডের সমস্যা সংখ্যাতত্ত্বের অন্যতম উল্লেখযোগ্য এবং চ্যালেঞ্জিং ডায়োফান্টাইন সমীকরণগুলোর একটি। সমস্যাটির মূল ধারণা হলো নিম্নলিখিত সমীকরণের পূর্ণসংখ্যা সমাধানের সন্ধান:

$n!+1=m^2$

এখানে $n!$ দ্বারা ফ্যাক্টরিয়াল এবং $m$ দ্বারা এমন একটি পূর্ণসংখ্যাকে নির্দেশ করা হয়েছে যার বর্গফল $n!+1$ এর সমান।

কেবল মাত্র $n$-এর তিনটি মান জানা গেছে : $4,5,7$। এছাড়া আদৌ আর কোনো পূর্ণসংখ্যা সমাধান আছে কিনা তা আজও অজানা।

১৮৭৬ এবং ১৮৮৫ সালে হেনরি ব্রোকার্ড এবং ১৯১৩ সালে শ্রীনিবাস রামানুজন পৃথকভাবে কয়েকটি নিবন্ধে সমস্যাটি উত্থাপন করেছিলেন।

ব্রাউন সংখ্যা

$(n,m)$ ক্রমজোড় যেগুলো ব্রোকার্ডের সমস্যার সমাধান করে, সেগুলোকে ব্রাউন সংখ্যা নামে অভিহিত করেন ক্লিফোর্ড এ. পিকোভার তাঁর ১৯৯৫ সালে প্রকাশিত Keys to Infinity গ্রন্থে। কেভিন এস. ব্রাউনের কাছ থেকে এই সমস্যাটির কথা জানার পর তিনি এদের এই নামকরণ করেন। ২০২২ সালের অক্টোবর পর্যন্ত, মাত্র তিনটি ব্রাউন ক্রমজোড় সনাক্ত করা হয়েছে: $(4,5),(5,11),(7,71)$।

যেগুলো নিম্নোক্ত উপায়ে সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে:

$4!+1=5^2=25,$

$5!+1=11^2=121,$

$7!+1=71^2=5041$।

পল এর্ডশ এই অনুমান করেছিলেন যে ব্রোকার্ডের সমস্যার অন্য কোনো সমাধান নেই। এক কোয়াড্রিলিয়ন (10¹⁵) পর্যন্ত সম্পাদিত গণনামূলক অনুসন্ধানেও নতুন কোনো সমাধান পাওয়া যায়নি।

abc অনুমানের সাথে সম্পর্ক

abc অনুমান থেকে জানা সম্ভব হবে যে ব্রাউন সংখ্যার পরিমাণ সসীম। আরও সাধারণভাবে, abc অনুমান থেকে এটিও অনুসৃত হয় যে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা $A$-এর জন্য $$n!+A=k^2$$ সমীকরণের সসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে এবং পূর্ণসংখ্যা সহগবিশিষ্ট $2$ বা তার বেশি ঘাতের কোনো বহুপদী $P(x)$-এর ক্ষেত্রে $$n!=P(x)$$ সমীকরণেরও সসীম সংখ্যক পূর্ণসংখ্যা সমাধান বিদ্যমান।

বহিঃ সংযোগ

• টেমপ্লেট:Mathworld2
• টেমপ্লেট:Citation