খসড়া:E8 (mathematics)

গণিতের ক্ষেত্রে, E₈ হল কয়েকটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত অসাধারণ সরল লাই গ্রুপ, রৈখিক বীজগাণিতিক গ্রুপ, বা 248 মাত্রার লাই বীজগণিতগুলোর যে কোনো একটি। একই প্রতীকটি সংশ্লিষ্ট মূল জালিকা (root lattice)-এর ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়, যার র‍্যাঙ্ক 8। E₈ নামকরণটি জটিল সরল লাই বীজগণিতগুলোর কার্তান–কিলিং শ্রেণিবিন্যাস থেকে এসেছে। এই শ্রেণিবিন্যাসে চারটি অসীম ধারা রয়েছে, যেগুলো A_n, B_n, C_n, এবং D_n দ্বারা চিহ্নিত, পাশাপাশি পাঁচটি অসাধারণ ক্ষেত্র রয়েছে: G₂, F₄, E₆, q₇, এবং E₈। এই অসাধারণ ক্ষেত্রগুলোর মধ্যে E₈ বীজগণিতটি আকারে সবচেয়ে বড় এবং গঠনগতভাবে সবচেয়ে জটিল।

মৌলিক বিবরণ

লাই গ্রুপ E₈-এর মাত্রা ২৪৮। এর র‍্যাঙ্ক, যা এর সর্বোচ্চ টোরাস-এর মাত্রা নির্দেশ করে, তা আট। সুতরাং, মূলতন্ত্রের (root system) ভেক্টরগুলো আট-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে অবস্থিত। এই ভেক্টরগুলোর নির্দিষ্ট বর্ণনা এই নিবন্ধের পরবর্তী অংশে দেওয়া হয়েছে।

E₈-এর Weyl group, যা সাম্যতার গোষ্ঠী হিসেবে কাজ করে এবং সমগ্র গোষ্ঠীর কনজুগেসির মাধ্যমে সর্বোচ্চ টোরাস-এর উপর ক্রিয়া করে, তার আদেশ (order) হলো 2টেমপ্লেট:Supটেমপ্লেট:Nnbsp3টেমপ্লেট:Supটেমপ্লেট:Nnbsp5টেমপ্লেট:Supটেমপ্লেট:Nnbsp7 = টেমপ্লেট:Gaps। সংকুচিত (compact) গোষ্ঠী E₈ হল সরল (simple) সংকুচিত লাই গ্রুপগুলোর মধ্যে অনন্য, কারণ এর সবচেয়ে ছোট মাত্রার অ-তুচ্ছ উপস্থাপনাটি হলো অ্যাডজয়েন্ট উপস্থাপনা (যার মাত্রা ২৪৮), যা সরাসরি লাই বীজগণিত E₈-এর উপর ক্রিয়া করে।

এটি একমাত্র গোষ্ঠী, যার নিম্নলিখিত চারটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
১. কেন্দ্র (center),
২. সংকুচিত (compact),
৩. সরলসংযুক্ত (simply connected),
৪. সরলভাবে লেইসড (simply laced) (যেখানে সমস্ত মূলের (roots) দৈর্ঘ্য সমান)।

প্রত্যেক পূর্ণসংখ্যা k ≥ 3-এর জন্য একটি লাই বীজগণিত E_k রয়েছে।

বাস্তব ও জটিল রূপ

E₈ ধরনের একটি অনন্য জটিল লাই বীজগণিত রয়েছে, যা ২৪৮ মাত্রার একটি জটিল গোষ্ঠীর সঙ্গে সম্পর্কিত। ২৪৮ মাত্রার জটিল লাই গোষ্ঠী E₈ কে একটি সাধারণ বাস্তব লাই গোষ্ঠী হিসেবে বিবেচনা করা যায়, যার বাস্তব মাত্রা ৪৯৬। এই গোষ্ঠী সম্পূর্ণ সংযুক্ত এবং এর সর্বাধিক সংকুচিত উপগোষ্ঠী হলো E₈-এর সংকুচিত রূপ (নীচে দেখুন)। এছাড়া, এর একটি বাইরের স্বয়ংক্রিয় রূপান্তর গোষ্ঠী রয়েছে, যার ক্রম ২ এবং যা জটিল সংযোজন দ্বারা উৎপন্ন হয়।

E₈ ধরনের জটিল লাই গোষ্ঠীর পাশাপাশি, এই লাই বীজগণিতের তিনটি বাস্তব রূপ রয়েছে। এছাড়া, কেন্দ্রহীন তিনটি বাস্তব রূপ রয়েছে, যার মধ্যে দুটি এমন দ্বিগুণ আবরণ ধারণ করে যা বীজগাণিতিক নয়। এই কারণে, আরও দুটি অতিরিক্ত বাস্তব রূপ পাওয়া যায়। এদের প্রত্যেকটির বাস্তব মাত্রা ২৪৮, যা নিম্নরূপ:

• সংকুচিত রূপ (যা সাধারণত উল্লেখ করা হয় যদি অন্য কোনো তথ্য না দেওয়া হয়)। এটি সম্পূর্ণ সংযুক্ত এবং এর বাইরের স্বয়ংক্রিয় রূপান্তর গোষ্ঠী নেই।

• বিভাজিত রূপ, EVIII (অথবা E₈₍₈₎)। এর সর্বাধিক সংকুচিত উপগোষ্ঠী Spin(16)/(Z/2Z)। এর মৌলিক গোষ্ঠীর ক্রম ২, যা নির্দেশ করে যে এর একটি দ্বিগুণ আবরণ রয়েছে। এটি সম্পূর্ণ সংযুক্ত একটি বাস্তব লাই গোষ্ঠী হলেও বীজগাণিতিক নয় (নীচের বিভাগটি দেখুন)। এর বাইরের স্বয়ংক্রিয় রূপান্তর গোষ্ঠী নেই।

• EIX (বা E₈₍₋₂₄₎)। এর সর্বাধিক সংকুচিত উপগোষ্ঠী হলো E₇ × SU(2)/(−1,−1)। এর মৌলিক গোষ্ঠীর ক্রম ২, যা আবারও নির্দেশ করে যে এর একটি দ্বিগুণ আবরণ রয়েছে, তবে এটি বীজগাণিতিক নয়। এর বাইরের স্বয়ংক্রিয় রূপান্তর গোষ্ঠীও নেই।

সরল লাই বীজগণিতের সমস্ত বাস্তব রূপের সম্পূর্ণ তালিকার জন্য সরল লাই গোষ্ঠীর তালিকা দেখুন।

বীজগাণিতিক গোষ্ঠী হিসেবে E₈

লাই বীজগণিতের একটি শেভালে ভিত্তি ব্যবহার করে, E₈-কে পূর্ণসংখ্যার উপর একটি রৈখিক বীজগাণিতিক গোষ্ঠী হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা যায়। ফলে, এটি যেকোনো সঙ্গতিবদ্ধ বৃত্ত এবং বিশেষভাবে যেকোনো ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত হয়। এটি E₈-এর বিভাজিত (যা কখনো কখনো "অমোচড়িত" বা "untwisted" নামেও পরিচিত) রূপকে সংজ্ঞায়িত করে। একটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের উপর, এটি একমাত্র বিদ্যমান রূপ। তবে, অন্যান্য ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে E₈-এর অনেক ভিন্ন রূপ বা "বিকৃতি" থাকতে পারে। সাধারণভাবে, এই ভিন্ন রূপগুলো গ্যালোয়া সহমণ্ডলবিদ্যা এর মাধ্যমে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। একটি নিখুঁত ক্ষেত্র k এর ক্ষেত্রে, এগুলো H¹(k,Aut(E₈)) সেট দ্বারা নির্ধারিত হয়। যেহেতু E₈-এর ডিনকিন চিত্রে কোনো স্বয়ংক্রিয় রূপান্তর নেই (নীচের বিভাগটি দেখুন), তাই এটি H¹(k,E₈) সেটের সমান।

R ক্ষেত্রের উপর, E₈-এর এই বীজগাণিতিকভাবে বিকৃত রূপগুলোর পরিচয় সংযুক্ত বাস্তব অংশ উপরের উল্লেখিত তিনটি বাস্তব লাই গোষ্ঠীর সাথে মিলে যায়। তবে এখানে মৌলিক গোষ্ঠী সম্পর্কে একটি সূক্ষ্ম পার্থক্য রয়েছে। বীজগাণিতিক জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে, E₈-এর সব রূপই সম্পূর্ণ সংযুক্ত, অর্থাৎ এদের কোনো গুরুত্বপূর্ণ বীজগাণিতিক আবরণ নেই। ফলে, E₈-এর যে বাস্তব লাই গোষ্ঠীগুলো অসংকুচিত ও সম্পূর্ণ সংযুক্ত, সেগুলো বীজগাণিতিক নয় এবং এগুলো কোনো বিশ্বস্ত সসীম-মাত্রিক উপস্থাপনাও গ্রহণ করে না।

সসীম ক্ষেত্রে উপর, ল্যাং-স্টেইনবার্গ উপপাদ্য অনুসারে H¹(k,E₈) = 0, যা নির্দেশ করে যে E₈-এর কোনো বিকৃত রূপ নেই। বিস্তারিত জানতে নীচের অংশটি দেখুন।

বাস্তব ও জটিল লাই বীজগণিত এবং লাই গোষ্ঠীর সসীম-মাত্রিক উপস্থাপনাগুলোর চরিত্র সম্পূর্ণরূপে ওয়েইল চরিত্র সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়। ক্ষুদ্রতম অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাগুলোর মাত্রা নিম্নলিখিত টেমপ্লেট:OEIS:

১, ২৪৮, ৩৮৭৫, ২৭০০০, ৩০৩৮০, ১৪৭২৫০, ৭৭৯২৪৭, ১৭৬৩১২৫, ২৪৫০২৪০, ৪০৯৬০০০, ৪৮৮১৩৮৪, ৬৬৯৬০০০, ২৬৪১১০০৮, ৭০৬৮০০০০, ৭৬২৭১৬২৫, ৭৯১৪৩০০০, ১৪৬৩২৫২৭০, ২০৩২০৫০০০, ২৮১৫৪৫৮৭৫, ৩০১৬৯৪৯৭৬, ৩৪৪৪৫২৫০০, ৮২০২৬০০০০, ১০৯৪৯৫১০০০, ২১৭২৬৬৭৮৬০, ২২৭৫৮৯৬০০০, ২৬৪২৭৭৭২৮০, ২৯০৩৭৭০০০০, ৩৯২৯৭১৩৭৬০, ৪০৭৬৩৯৯২৫০, ৪৮২৫৬৭৩১২৫, ৬৮৯৯০৭৯২৬৪, ৮৬৩৪৩৬৮০০০ (দুইবার), ১২৬৯২৫২০৯৬০...

২৪৮ মাত্রার উপস্থাপনাটি হলো অ্যাডজয়েন্ট উপস্থাপন। ৮৬৩৪৩৬৮০০০ মাত্রার দুটি অপূরক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপন রয়েছে (এটি একক নয়; তবে, এই বৈশিষ্ট্যযুক্ত পরবর্তী পূর্ণসংখ্যাটি হলো ১৭৫৮৯৮৫০৪১৬৬৯২৬১২৬০০৮৫৩২৯৯২০০০০০ টেমপ্লেট:OEIS)। মৌলিক উপস্থাপনাগুলি হলো: ৩৮৭৫, ৬৬৯৬০০০, ৬৮৯৯০৭৯২৬৪, ১৪৬৩২৫২৭০, ২৪৫০২৪০, ৩০৩৮০, ২৪৮ এবং ১৪৭২৫০ (যেগুলি ডিনকিন চিত্র-এর আটটি নোডের সাথে সম্পর্কিত, এগুলি কারটান ম্যাট্রিক্স-এর জন্য নির্বাচন করা গড়ে চিহ্নিত করা হয়েছে, অর্থাৎ, প্রথমে সাত-নোডের চেইনে নোডগুলো পড়া হয়, এবং শেষ নোডটি তৃতীয় নোডের সাথে যুক্ত)।

E₈-এর অসীম মাত্রিক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাগুলোর চরিত্র সূত্রের গুণাঙ্কগুলি কিছু বড় বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের উপর নির্ভর করে, যেগুলি পলিনোমিয়াল দ্বারা গঠিত। এগুলো হলো লুসটিগ–ভোগান পলিনোমিয়াল, যা জর্জ লুসটিগ এবং ডেভিড কাশডান (১৯৮৩) দ্বারা প্রবর্তিত কাজদান–লুসটিগ পলিনোমিয়াল-এর একটি রূপ, যা সাধারণভাবে নমনীয় গোষ্ঠী-এর জন্য ব্যবহৃত হয়।

লুসটিগ–ভোগান পলিনোমিয়ালগুলির মান ১-এ নির্ধারিত হলে, তা সেই ম্যাট্রিক্সগুলির গুণাঙ্ক প্রদান করে, যা মানক উপস্থাপনা এবং অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাগুলির মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে। মানক উপস্থাপনাগুলোর চরিত্র বর্ণনা করা সহজ এবং এই সম্পর্কের মাধ্যমে গুণাঙ্কগুলি নির্ধারণ করা হয়।

এই ম্যাট্রিক্সগুলি চার বছরের একটি সহযোগিতার পর গণনা করা হয়, যেখানে ১৮ জন গণিতবিদ এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানী, নেতৃত্বে জেফ্রি অ্যাডামস, এবং অধিকাংশ প্রোগ্রামিং কাজ করেন ফোক্কো দু ক্লক্স। সবচেয়ে চ্যালেঞ্জিং কেস (বিশেষ গোষ্ঠীগুলির জন্য) হলো E₈-এর বিভাজিত বাস্তব রূপ (যা উপরে আলোচনা করা হয়েছে), যেখানে সবচেয়ে বড় ম্যাট্রিক্সটির আকার ছিল ৪৫৩০৬০×৪৫৩০৬০।

অন্যান্য বিশেষ সরল গোষ্ঠীর জন্য লুসটিগ–ভোগান পলিনোমিয়াল কিছু সময় ধরে পরিচিত ছিল; তবে E₈-এর বিভাজিত রূপের জন্য গণনা অন্য কেসের চেয়ে অনেক বেশি সময় নিয়েছিল। ২০০৭ সালের মার্চে ফলাফলটি ঘোষণার পর, এটি গণমাধ্যমে ব্যাপকভাবে আলোচিত হয় (বহিঃসংযোগগুলি দেখুন), যা গণিতবিদদের জন্য একটি অবাক করা ঘটনা ছিল।

E₈ গোষ্ঠীগুলোর সসীম ক্ষেত্রের উপর প্রতিনিধিত্বগুলি ডেলিগন–লুসটিগ তত্ত্ব দ্বারা নির্ধারিত হয়।

নির্মাণ

E₈ গোষ্ঠীকে (বিশেষভাবে এর সংগঠিত রূপ) সংশ্লিষ্ট e₈ লাই বীজগণিতের স্বতন্ত্র রূপান্তর গোষ্ঠী হিসেবে তৈরি করা যায়। এই বীজগণিতটির একটি ১২০-মাত্রিক উপবীজগণিত so(16) আছে, যা J_ij দ্বারা সৃষ্ট এবং এর সাথে ১২৮টি নতুন জেনারেটর Q_a রয়েছে, যা spin(16) এর একটি ওয়েইল–মায়োরানা স্পিনর হিসেবে রূপান্তরিত হয়। এই বিবৃতিগুলি কমিউটেটর নির্ধারণ করে। এই কমিউটেটরগুলো হলো:

$[J_{ij},J_{k\ell }]={\delta }_{jk}{J}_{i\ell }-{\delta }_{j\ell }{J}_{ik}-{\delta }_{ik}{J}_{j\ell }+{\delta }_{i\ell }{J}_{jk}$

এছাড়াও

$[J_{ij},Q_a]=\frac{1}{4}{({\gamma }_i{\gamma }_j-{\gamma }_j{\gamma }_i)}_{ab}{Q}_b,$

এবং স্পিনর জেনারেটরগুলির মধ্যে অবশিষ্ট কমিউটেটর (এটি অ্যান্টি-কমিউটেটর নয়!) সংজ্ঞায়িত হয়:

$[Q_a,Q_b]={\gamma }_{ac}^{[i}{\gamma }_{cb}^{j]}{J}_{ij}.$

এরপর এটি যাচাই করা সম্ভব হয় ফলে জ্যাকোবি পরিচয় পূর্ণ হয়।