গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম

গণিতে একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম হলো জ্যামিতিক ক্রমের উপাদানগুলোর সাথে গাণিতিক ক্রমের উপাদানগুলোর উপাদান-অনুপাতে গুণফল। একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রমের n-তম উপাদান হলো গাণিতিক ক্রমের n-তম উপাদান এবং জ্যামিতিক ক্রমের n-তম উপাদানের গুণফল। একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা হলো সেই ক্রমের উপাদানগুলোর যোগফল। গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম এবং ধারা বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যেমন সম্ভাবনা তত্ত্বে প্রত্যাশিত মান গণনার ক্ষেত্রে (বিশেষত বার্নুলি প্রক্রিয়াসমূহে)।

উদাহরণস্বরূপ নিম্নের ক্রমটি তথা

$\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{8},\frac{4}{16},\frac{5}{32},\cdots$

একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম। গাণিতিক অংশটি নীল রঙে (উপরে) এবং জ্যামিতিক অংশটি সবুজ রঙে (নিচে) চিহ্নিত। এই ক্রমের অসীম উপাদানগুলোর ধারা যোগফলকে গ্যাব্রিয়েলের সিঁড়ি বলা হয় এবং এর মান ২। সাধারণভাবে,

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{r}^k=\frac{r}{(1-r{)}^2}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}0<r<1.$

গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম শব্দটি মাঝে মাঝে এমন বিভিন্ন বস্তু বোঝাতেও ব্যবহৃত হয় যা গাণিতিক এবং জ্যামিতিক ক্রম উভয়ের বৈশিষ্ট্য ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, ফরাসি ধারণার গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম বলতে এমন ক্রমকে বোঝানো হয় যা পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক $u_{n+1}=r{u}_n+d$ পূরণ করে, যা গাণিতিক ক্রমের সংজ্ঞায়িত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক $u_{n+1}=u_n+d$ এবং জ্যামিতিক ক্রমের $u_{n+1}=r{u}_n$ সংযুক্ত করে। এই ক্রমগুলো তাই রৈখিক পার্থক্য সমীকরণ-এর একটি বিশেষ শ্রেণির সমাধান: অপরিবর্তিত সহগবিশিষ্ট অসম প্রথম শ্রেণির স্থির সহগযুক্ত রৈখিক পুনরাবৃত্তি।

উপাদানসমূহ

গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম $(A_n{G}_n{)}_{n\ge 1}$-এর উপাদানগুলো হলো গাণিতিক ক্রম $(A_n{)}_{n\ge 1}$ (নীল রঙে) এবং জ্যামিতিক ক্রম $(G_n{)}_{n\ge 1}$ (সবুজ রঙে) এর উপাদানগুলোর গুণফল। এখানে গাণিতিক ক্রমের প্রাথমিক মান $a$ এবং সাধারণ পার্থক্য $d$, যেখানে $A_n=a+(n-1)d,$ এবং জ্যামিতিক ক্রমের প্রাথমিক মান $b$ এবং সাধারণ অনুপাত $r$, যেখানে $G_n=b{r}^{n-1},$ তাই

$\begin{array}{cc}{A}_1{G}_1& =ab\\ A_2{G}_2& =(a+d)br\\ A_3{G}_3& =(a+2d)b{r}^2\\ & ⋮\\ A_n{G}_n& =(a+(n-1)d)b{r}^{n-1}.\end{array}$

এই চারটি পরামিতি কিছুটা অপ্রয়োজনীয় এবং এগুলো তিনটি পরামিতিতে সংকুচিত করা যেতে পারে: $ab,$ $bd,$ এবং $r.$

উদাহরণ

যে ক্রমটি

$\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{8},\frac{4}{16},\frac{5}{32},\cdots$

এটি একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম, যেখানে $d=b=1$, $a=0$, এবং $r=1/2$।

ধারাসমূহ

আংশিক যোগফল

গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা $n^{″}$-এর প্রথম $n$ পদগুলোর যোগফল নিচের রূপে প্রকাশিত হয়:

$\begin{array}{cc}{S}_n& =\sum _{k=1}^n{A}_k{G}_k=\sum _{k=1}^n(a+(k-1)d)b{r}^{k-1}=b\sum _{k=0}^{n-1}(a+kd)r^k\\ & =ab+(a+d)br+(a+2d)b{r}^2+\cdots +(a+(n-1)d)b{r}^{n-1}\end{array}$

যেখানে $A_i$ এবং $G_i$ যথাক্রমে গাণিতিক এবং জ্যামিতিক ক্রমের $i$-তম উপাদান।

এই আংশিক যোগফলের বন্ধ-রূপ অভিব্যক্তি হলো:

$\begin{array}{cc}{S}_n& =\frac{ab-(a+nd)b{r}^n}{1-r}+\frac{dbr(1-r^n)}{(1-r{)}^2}\\ & =\frac{A_1{G}_1-A_{n+1}{G}_{n+1}}{1-r}+\frac{dr}{(1-r{)}^2}(G_1-G_{n+1}).\end{array}$

নিরূপণ

$S_n=ab+(a+d)br+(a+2d)b{r}^2+\cdots +(a+(n-1)d)b{r}^{n-1}$ সমীকরণটি $r$-এর সাথে গুণ করলে:

$r{S}_n=abr+(a+d)b{r}^2+(a+2d)b{r}^3+\cdots +(a+(n-1)d)b{r}^n.$

$r{S_n}^{″}$-কে ${S_n}^{″}$ থেকে বিয়োগ করা, উভয় পক্ষকে $b$ দ্বারা ভাগ করা, এবং টেলিস্কোপিক ধারা (দ্বিতীয় সমীকরণ) ও সীমিত জ্যামিতিক ধারার যোগফলের সূত্র (পঞ্চম সমীকরণ) ব্যবহার করলে:

$\begin{array}{cc}(1-r)S_n/b=& (a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots +(a+(n-1)d)r^{n-1})\\ & -(ar+(a+d)r^2+(a+2d)r^3+\cdots +(a+(n-1)d)r^n)\\ =& a+d(r+r^2+\cdots +r^{n-1})-(a+(n-1)d)r^n\\ =& a+\frac{dr(1-r^n)}{1-r}-(a+nd)r^n,\\ S_n=& \frac{b}{1-r}(a-(a+nd)r^n+\frac{dr(1-r^n)}{1-r})\\ =& \frac{ab-(a+nd)b{r}^n}{1-r}+\frac{dr(b-b{r}^n)}{(1-r{)}^2}\\ =& \frac{A_1{G}_1-A_{n+1}{G}_{n+1}}{1-r}+\frac{dr(G_1-G_{n+1})}{(1-r{)}^2}\end{array}$

যা প্রমাণিত হলো।

অসীম ধারা

যদি −1 < r < 1 হয়, তবে গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারার যোগফল S, অর্থাৎ এর উপাদানগুলোর আংশিক যোগফলের সীমা, নিচের সূত্রে দেওয়া যায়:

$\begin{array}{cc}S& =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{t}_k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n\\ & =\frac{ab}{1-r}+\frac{dbr}{(1-r{)}^2}\\ & =\frac{A_1{G}_1}{1-r}+\frac{dr{G}_1}{(1-r{)}^2}.\end{array}$

যদি r উপরের পরিসরের বাইরে থাকে, b শূন্য না হয়, এবং a এবং d একসাথে শূন্য না হয়, তবে সীমা অস্তিত্বে থাকে না এবং সিরিজটি বিচ্ছিন্ন হয়।

উদাহরণ

ধারা

$S=\frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\cdots$,

$d=b=1$, $a=0$, এবং $r=\frac{1}{2}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা, যা $S=2$-তে অভিসারিত হয়। এই ক্রমটি মুদ্রা নিক্ষেপের মাধ্যমে প্রথমবার "টেল" পাওয়ার প্রত্যাশিত সংখ্যার সমান। "টেল" প্রথমবার পাওয়ার সম্ভাবনা $T_k$ হলো:

$T_1=\frac{1}{2},T_2=\frac{1}{4},\dots ,T_k=\frac{1}{2^k}$।

তাই, প্রথমবার "টেল" পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় মুদ্রা নিক্ষেপের প্রত্যাশিত সংখ্যা:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{T}_k=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k}{2^k}=2$

এভাবে, ধারা

$S=\frac{0*1/6}{5/6}+\frac{1*1/6}{1}+\frac{2*1/6}{6/5}+\cdots$,

একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা, যা $d=1$, $a=0$, $b=(1/6)/(5/6)$, এবং $r=5/6$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত। এটি $S=6$-এ অভিসারিত হয়।

এই ক্রমটি ছয়-পার্শ্বযুক্ত পাশা নিক্ষেপের মাধ্যমে একটি নির্দিষ্ট মান (যেমন "৫") পাওয়ার প্রত্যাশিত সংখ্যাকে নির্দেশ করে।

সাধারণভাবে, এমন ধারা যেখানে $d=1$, $a=0$, $b=p/(1-p)$, এবং $r=(1-p)$, সেগুলো বার্নুলি প্রক্রিয়াগুলিতে "প্রথম সফলতার জন্য প্রয়োজনীয় পরীক্ষার সংখ্যা"-এর প্রত্যাশা প্রকাশ করে, যেখানে "সফলতার সম্ভাবনা" $p$।

প্রত্যেক ফলাফলের সম্ভাবনাগুলো জ্যামিতিক বন্টন অনুসরণ করে এবং ধারার পদের জ্যামিতিক ক্রমের উপাদানগুলো তৈরি করে। প্রত্যেক ফলাফলের জন্য প্রয়োজনীয় পরীক্ষার সংখ্যা গাণিতিক ক্রমের উপাদান সরবরাহ করে।

আরও পড়ুন

• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি