গাণিতিক ভেলকি

গাণিতিক সঠিক সূত্র

গণিতের আলোচনায় প্রায়ই কিছু ভুল ও অসংগত গাণিতিক প্রমাণ প্রদর্শিত হয় এবং কখনও কখনও যেগুলো সংগৃহীতও হয় যাকে বলা হয় গাণিতিক ভেলকি বা প্রবঞ্চনা। ইংরেজিতে বলা হয় ম্যাথমেটিক্যাল ফ্যালাসি (Mathematical Fallacy)। সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে গাণিতিক ভুল ও গাণিতিক ভেলকি এক নয়, এদের মধ্যে সুস্পষ্ট পার্থক্য আছে। গাণিতিক সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে ভুল হলে একটি অসিদ্ধ প্রমাণ বা ফলাফল আসে কিন্তু ভেলকির ক্ষেত্রে প্রমাণ উপস্থাপনে প্রচ্ছন্ন ভুল পদ্ধতি অনুসরণ করা হয় যা কিনা দুর্বোধ্য বা সহজে চোখে পড়ে না।

সাঙ্ঘাতিক ভেলকি

ভুল পদ্ধতি অনুসরণ করে সঠিক ফলাফল উপস্থাপনেরও যথেষ্ট উদাহরণ রয়েছে। ফলাফল সঠিক হলেও অঙ্কের পুরো পদ্ধতিটিই অসংগতিপূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ নিচের হিসাবটি করা যাক (কাটাকাটি হিসাব)
$\frac{16}{64}=\frac{16/}{6/4}=\frac{1}{4}$

শূণ্য দ্বারা ভাগ

শূন্য দ্বারা ভাগের মাধ্যমে সৃষ্ট অনেক ভেলকির উদাহরণ রয়েছে। তার মধ্যে একটি হলো ১=২ প্রমাণ করা।

1. ধরি a ও b সমান, এবং উভয়ই অশূন্য সংখ্যা

   $a=b$

2. উভয় পক্ষকে a দিয়ে গুণ

   $a^2=ab$

3. উভয় পক্ষ থেকে b² বিয়োগ

   $a^2-b^2=ab-b^2$

4. উভয় পাশেই গুণনীয়ক নির্ণয়: বামপাশে বর্গরাশির গুণনীয়ক নির্ণয়, ডানপাশে b কমন নিয়ে

   $(a-b)(a+b)=b(a-b)$

5. উভয় পক্ষকে (a − b) দ্বারা ভাগ

   $a+b=b$

6. a = b হওয়ায় a এর স্থলে b বসাই

   $b+b=b$

7. বামপাশের রাশিদ্বয় যোগ করি

   $2b=b$

8. উভয় পক্ষকে b দ্বারা ভাগ করি

   $2=1$

Q.E.D.

৫ম লাইনে রয়েছে মারাত্মক অসংগতি ও গাণিতিক ভুল: ৪র্থ লাইন থেকে ৫ম লাইনে যাওয়ার সময় উভয় পক্ষকে a − b দ্বারা ভাগ করা হয়, কিন্তু a = b হওয়ায় a-b=0। আর ০ দ্বারা ভাগ করা অসিদ্ধ ও অবৈধ।