গামা বণ্টন

<poem> পরিসংখ্যানবিদ্যাতে ব্যবহৃত বিভিন্ন সম্ভাব্যতা বণ্টনের মধ্যে গামা বণ্টন (Gamma Distribution) একটি গুরুত্বপূর্ণ বণ্টন। গামা বণ্টনের চিহ্ন হিসেবে সচরাচর $G_A(\alpha ,\beta )$কে ব্যবহার করা হয়। নানাবিধ প্রাকৃতিক প্রক্রিয়াতে গামা বণ্টন দেখা যায়। বিশেষ করে যেখানে পয়সন বণ্টন অনুসরণকারী ঘটনার মধ্যবর্তী সময়ের প্রসঙ্গ নিয়ে আলোচনা আসে। </poem>

Illustration of the Gamma PDF for parameter values over k and x with θ set to 1, 2, 3, 4, 5 and 6. One can see each θ layer by itself here [১] as well as by k [২] and x. [৩].

গামা বণ্টন এর ডেন্সিটি ফাংশন
$f(x|\theta )=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha ){\beta }^{\alpha }}{x}^{\alpha -1}exp(-\frac{x}{\beta })(0<x<\mathrm{\infty })$ $\mathrm{\Theta }=\{\theta =(\alpha ,\beta ):0<\alpha ,\beta <\mathrm{\infty }\}$

এখানে ব্যবহৃত $\mathrm{\Theta }$কে বলা হয় প্যারামিটার স্পেস (প্যারামিটারের মানের সেট)। গামা বণ্টন $\alpha ,\beta$দুটো প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে | $\mathrm{\Gamma }(\alpha )$কে বলা হয় গামা ফাংশন(gamma function) । গামা বণ্টনকে $\alpha =1,\beta ={\lambda }^{-1}$ বসিয়ে সূচকীয় বণ্টন(expoential distribution) এ পরিণত করা যায় | | সেজন্য এভাবে লেখা যায় : $G_A(1,{\lambda }^{-1})=E_X(\lambda )$

গামা ফাংশনের বৈশিষ্ট্য :

$\begin{array}{cc}(i)\mathrm{\Gamma }(1)& =1\\ (ii)\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})& =\sqrt{\pi }\\ (iii)\mathrm{\Gamma }(s)& =(s-1)\mathrm{\Gamma }(s-1)(s>1)\\ (iv)\mathrm{\Gamma }(n)& =(n-1)!(n:positiveinteger)\end{array}$

প্রমাণ : (i) এর প্রমাণ খুবই সহজ । $s=1$ বসালেই $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}dx=1$ সমীকরণ থেকে $\mathrm{\Gamma }(1)=1$ এর প্রমাণ করা যায়। (ii) একে চলক প্রতিস্থাপন পদ্ধতির সাহায্য নিয়ে সহজেই প্রমাণ করা যায় | $\begin{array}{cc}let,y& =x^{1/2},\\ then,dy& =1/2x^{-1/2}\\ \mathrm{\Gamma }(1/2)& =2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2}dy\\ & =2\frac{\sqrt{\pi }}{2}\\ & =\sqrt{\pi }\end{array}$ (iii)আংশিক সমাকলন(Partial Integration)পদ্ধতি ব্যবহার করে $\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(s)& ={\left[x^{s-1}{e}^{-x}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}+(s-1)\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}{e}^{-x}dx\\ & =0+(s-1)\mathrm{\Gamma }(s-1)\\ & =(s-1)\mathrm{\Gamma }(s-1)\end{array}$ (iv)পূণর্সংখ্যা n এর জন্য, $\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(n)& =(n-1)\mathrm{\Gamma }(n-1)\\ & =(n-1)\mathrm{\Gamma }(n-2)\\ & =...\\ & =(n-1)\mathrm{\Gamma }(1)\\ & =(n-1)!\end{array}$ (v) যেহেতু $f(x|\mathrm{\Theta })$হল গামা বণ্টনের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন(সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের(probability density function) সংঙ্গানুযায়ী $\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x|\mathrm{\Theta })dx& =1\\ =>\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha ){\beta }^{\alpha }}{x}^{\alpha -1}exp(-\frac{x}{\beta })& =1(Here,0<x<\mathrm{\infty })\end{array}$ "ব্যখ্যাঃ" সম্ভাব্যতাকে যদি P দিয়ে চিহ্নায়িত করা হয়, আমরা জানি 0 <= P <= 1 । র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল(X) এর মান যদি বিচ্ছিন্ন না হয়ে অবিচ্ছন্ন হয় অর্থাৎ X এর কোন বিচ্ছিন্ন মান X = a না থেকে বরং X এর মান কোন একটা রেঞ্জ অর্থাৎ পরিসরের(a < X < b)মধ্যে থাকে তাহলে আমরা X এর মান a থেকে b এর মধ্যে থাকার সম্ভাবনা P(a < X < b) কে নিম্নের সমীকরণের সাহায্যে প্রকাশ করতে পারি $P(a<X<b)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x|\mathrm{\Theta })dx$ যেখানে $f(x|\mathrm{\Theta })$হল অবিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন(continuous probability density function) | $a=-\mathrm{\infty }$আর $b=\mathrm{\infty }$হলে সম্ভাব্যতার মান যে ১(পূর্ণ সম্ভাবনা) হবে তা সহজেই বোঝা যায় । গামা বণ্টনের ক্ষেত্রে $0<X<\mathrm{\infty }$ আমরা আগেই উল্লেখ করেছি | চলক প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে $y=\frac{x}{\beta }$ ধরে$f(x|\mathrm{\Theta })$ এর ইন্টেগ্রেশনের মানকে সহজেই গামা ফাংশন দিয়ে লেখা যায় , $\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x|\mathrm{\Theta })dx& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x|(\alpha ,\beta ))dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-x/\beta }dx\\ & ={\beta }^{\alpha }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{y}^{\alpha -1}{e}^{-y}dy\\ & =\mathrm{\Gamma }(\alpha ){\beta }^{\alpha }\\ \end{array}$ সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের ইন্টেগ্রেশনের মান কেন ১ হচ্ছে তা এর থেকে সহজেই বোঝা যায় । গামা বণ্টনের গড় E[X] $\begin{array}{cc}E[X]& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{x}^{\alpha -1}{e}^{-x/\beta }dx\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1){\beta }^{\alpha +1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha ){\beta }^{\alpha }}\\ & =\alpha \beta \end{array}$ গামা বণ্টনের পরিমিত ব্যবধান S[X] $\begin{array}{cc}E[X^2]& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{x}^{\alpha -1}{e}^{-x/\beta }dx\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +2){\beta }^{\alpha +2}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha ){\beta }^{\alpha }}\\ & =(\alpha +1)\alpha {\beta }^2\\ \therefore V[X]& =E[X^2]-E[X]\\ & =(\alpha +1)\alpha {\beta }^2-\alpha \beta \\ & =\alpha {\beta }^2\\ \therefore S[X]& =\sqrt{V[X]}\\ & =\sqrt{\alpha {\beta }^2}\end{array}$