চক্রবৃদ্ধি সুদ

Effective interest rates

একটি প্রাথমিক $1,000 বিনিয়োগে বার্ষিক ২০% সুদের বিভিন্ন পরিমাণ চক্রবৃদ্ধির প্রভাব

চক্রবৃদ্ধি সুদ হল সুদ যা প্রধান অর্থ এবং পূর্বে সঞ্চিত সুদের উপর ভিত্তি করে জমা হয়। এটি সেই সুদের পুনরায় বিনিয়োগ বা ধরে রাখার ফলাফল যা অন্যথায় প্রদান করা হতো, অথবা ঋণগ্রহীতার ঋণের সঞ্চয়ের ফল।

চক্রবৃদ্ধি সুদের বিপরীতে রয়েছে সরল সুদ, যেখানে পূর্বে সঞ্চিত সুদ বর্তমান সময়কালের মূলধনের সাথে যোগ করা হয় না। চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ভর করে সরল সুদের হারের উপর এবং সুদ কত ঘন ঘন চক্রবৃদ্ধি হয় তার উপর।

চক্রবৃদ্ধির কম্পাঙ্ক

চক্রবৃদ্ধির কম্পাঙ্ক হল একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে কতবার সঞ্চিত সুদ নিয়মিতভাবে মূলধনে যোগ করা হয়। এটি হতে পারে বার্ষিক, অর্ধ-বার্ষিক, ত্রৈমাসিক, মাসিক, সাপ্তাহিক, দৈনিক, নিরবিচ্ছিন্নভাবে, অথবা মেয়াদপূর্তির আগ পর্যন্ত একবারও না।

উদাহরণস্বরূপ, বার্ষিক হারের ভিত্তিতে মাসিক চক্রবৃদ্ধি হলে চক্রবৃদ্ধির ফ্রিকোয়েন্সি হবে ১২, এবং সময়কাল মাসে মাপা হবে।

বার্ষিক সমতুল্য হার

ভোক্তারা খুচরা আর্থিক পণ্যগুলি আরও ন্যায্য এবং সহজভাবে তুলনা করতে পারে, এটি নিশ্চিত করার জন্য অনেক দেশ আর্থিক প্রতিষ্ঠানের জন্য একটি নির্দিষ্ট ভিত্তিতে আমানত বা অগ্রিমের বার্ষিক যৌগিক সুদের হার প্রকাশ করা বাধ্যতামূলক করেছে। বিভিন্ন বাজারে, সমতুল্য বার্ষিক ভিত্তিতে সুদের হারকে বিভিন্ন নামে উল্লেখ করা হতে পারে, যেমন বার্ষিক শতাংশ হার (EAPR), বার্ষিক সমতুল্য হার (AER), কার্যকর সুদের হার, কার্যকর বার্ষিক হার, বার্ষিক শতাংশ ফলন এবং অন্যান্য নামে। কার্যকর বার্ষিক হার হলো মোট জমাকৃত সুদের পরিমাণ যা এক বছরের শেষে প্রদানযোগ্য হবে, যা মূল অর্থের সাথে ভাগ করে নির্ধারণ করা হয়। এই হারগুলো সাধারণত বার্ষিকীকৃত যৌগিক সুদের হার হিসেবে প্রকাশ করা হয়, যেখানে সুদ ছাড়া কর এবং অন্যান্য ফি অন্তর্ভুক্ত থাকে।

উদাহরণ

৪০ বছরে ১৫% যৌগিক সুদ প্রয়োগে $১০,০০০ প্রাথমিক বিনিয়োগ

৪০ বছরে ১.৫% বার্ষিক লভ্যাংশ প্রয়োগে $১০,০০০ প্রাথমিক বিনিয়োগ
মোট $২৬৬,৮৬৪ লভ্যাংশ প্রদানের পরিমাণ
এই ক্ষেত্রে লভ্যাংশ পুনঃবিনিয়োগ করা হয়নি

৪০ বছরে বিভিন্ন হারে মুদ্রাস্ফীতির যৌগিক হিসাব টেমপ্লেট:Legend-line টেমপ্লেট:Legend-line টেমপ্লেট:Legend-line টেমপ্লেট:Legend-line টেমপ্লেট:Legend-line টেমপ্লেট:Legend-line টেমপ্লেট:Legend-line টেমপ্লেট:Legend-line

• কর্পোরেট এবং সরকারি বন্ডে সাধারণত সুদ প্রতি ছয় মাসে প্রদান করা হয়। প্রতি ছয় মাসে প্রদেয় সুদের পরিমাণ হলো ঘোষিত সুদের হারকে দুই দিয়ে ভাগ করা এবং মূল অর্থের সাথে গুণ করা। বার্ষিক যৌগিক হার ঘোষিত হারের চেয়ে বেশি হয়ে থাকে।
• কানাডিয়ান গৃহঋণ সাধারণত ছয় মাস অন্তর যৌগিক সুদের ভিত্তিতে, তবে মাসিক বা আরও ঘন ঘন কিস্তিতে পরিশোধ করতে হয়।
• মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের গৃহঋণ অ্যামরটাইজিং ঋণ পদ্ধতি ব্যবহার করে, যৌগিক সুদের নয়। এই ঋণে অ্যামরটাইজেশন সময়সূচি ব্যবহার করে কিস্তি পরিশোধের মাধ্যমে মূল এবং সুদকে আলাদা করা হয়। এই ঋণে উৎপন্ন সুদ মূল অর্থে যোগ করা হয় না, বরং মাসিক কিস্তির মাধ্যমে তা পরিশোধ করা হয়।
• কিছু ক্ষেত্রে, যেমন ডেরিভেটিভ এর মূল্যায়নে, গণিতের দিক থেকে ক্রমাগত যৌগিক সুদের ব্যবহার সহজ হয়। এই ধরনের ডেরিভেটিভ মূল্যায়নে ইটো ক্যালকুলাস ব্যবহৃত হয়, যেখানে আর্থিক ডেরিভেটিভের মূল্যায়ন ক্রমাগত সময়ের ভিত্তিতে করা হয়।

ইতিহাস

সুদযুক্ত চক্রবৃদ্ধি (Compound interest) প্রাচীনকালে সুদ (usury) এর সবচেয়ে নিন্দনীয় রূপ হিসেবে বিবেচিত হতো এবং এটি রোমান আইন ও অনেক দেশের কমন আইন অনুযায়ী কঠোরভাবে নিন্দিত ছিল।

ফ্লোরেন্সের ব্যবসায়ী ফ্রান্সেস্কো বালদুচ্চি পেগোলত্তি প্রায় ১৩৪০ সালে তার বই Pratica della mercatura-তে একটি চক্রবৃদ্ধি সুদের হিসাবের টেবিল প্রদান করেন। এতে ১০০ লিরে (lire)-এর জন্য ১% থেকে ৮% পর্যন্ত সুদের হার এবং সর্বোচ্চ ২০ বছরের জন্য সুদের হিসাব দেওয়া আছে। লুকা পাচোলি-এর Summa de arithmetica (১৪৯৪) Rule of 72 তুলে ধরে। এতে বলা হয়েছে, চক্রবৃদ্ধি সুদে একটি বিনিয়োগ দ্বিগুণ হতে কত বছর লাগবে তা নির্ণয়ের জন্য সুদের হারকে ৭২ দ্বারা ভাগ করতে হবে।

রিচার্ড উইট-এর বই Arithmeticall Questions (১৬১৩ সালে প্রকাশিত) চক্রবৃদ্ধি সুদের ইতিহাসে একটি গুরুত্বপূর্ণ মাইলফলক। এই বই সম্পূর্ণরূপে চক্রবৃদ্ধি সুদের বিষয় নিয়ে রচিত (পূর্বে এটি anatocism নামে পরিচিত ছিল), যেখানে পূর্ববর্তী লেখকরা সাধারণত তাদের গাণিতিক বইয়ের একটি অধ্যায়ে সংক্ষিপ্তভাবে এই বিষয়টি আলোচনা করতেন। উইটের বইটি ১০% (ঋণের ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ অনুমোদিত সুদের হার) এবং অন্যান্য হার অনুযায়ী বিভিন্ন উদ্দেশ্যে, যেমন সম্পত্তি ইজারা মূল্যায়ন, টেবিল সরবরাহ করেছিল। তিনি একজন লন্ডন-ভিত্তিক গণিত বিশেষজ্ঞ ছিলেন এবং তার বইটি স্পষ্ট ব্যাখ্যা, গভীর অন্তর্দৃষ্টি এবং সঠিক হিসাবের জন্য বিশেষভাবে উল্লেখযোগ্য, যেখানে ১২৪টি কাজ করা উদাহরণ ছিল।

জ্যাকব বার্নুলি ১৬৮৩ সালে চক্রবৃদ্ধি সুদ সম্পর্কিত একটি প্রশ্ন বিশ্লেষণ করতে গিয়ে ধ্রুবক $e$ আবিষ্কার করেন।

১৯ শতকে, এবং সম্ভবত তারও আগে, পারস্যের ব্যবসায়ীরা মাসিক কিস্তির হিসাবের জন্য সামান্য পরিবর্তিত লিনিয়ার টেলর আনুমানিক পদ্ধতি ব্যবহার করতেন, যা তারা সহজেই মনে রাখতে পারতেন।

আধুনিক সময়ে, আলবার্ট আইনস্টাইনের একটি বিখ্যাত উক্তি চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে বিশেষভাবে প্রাসঙ্গিক: "যে এটি বোঝে, সে এটি অর্জন করে; যে বোঝে না, সে এটি পরিশোধ করে।"

ইতিহাস

সুদযুক্ত চক্রবৃদ্ধি (Compound interest) প্রাচীনকালে সুদ (usury) এর সবচেয়ে নিন্দনীয় রূপ হিসেবে বিবেচিত হতো এবং এটি রোমান আইন ও অনেক দেশের কমন আইন অনুযায়ী কঠোরভাবে নিন্দিত ছিল।

ফ্লোরেন্সের ব্যবসায়ী ফ্রান্সেস্কো বালদুচ্চি পেগোলত্তি প্রায় ১৩৪০ সালে তার বই Pratica della mercatura-তে একটি চক্রবৃদ্ধি সুদের হিসাবের টেবিল প্রদান করেন। এতে ১০০ লিরে (lire)-এর জন্য ১% থেকে ৮% পর্যন্ত সুদের হার এবং সর্বোচ্চ ২০ বছরের জন্য সুদের হিসাব দেওয়া আছে। লুকা পাচোলি-এর Summa de arithmetica (১৪৯৪) Rule of 72 তুলে ধরে। এতে বলা হয়েছে, চক্রবৃদ্ধি সুদে একটি বিনিয়োগ দ্বিগুণ হতে কত বছর লাগবে তা নির্ণয়ের জন্য সুদের হারকে ৭২ দ্বারা ভাগ করতে হবে।

রিচার্ড উইট-এর বই Arithmeticall Questions (১৬১৩ সালে প্রকাশিত) চক্রবৃদ্ধি সুদের ইতিহাসে একটি গুরুত্বপূর্ণ মাইলফলক। এই বই সম্পূর্ণরূপে চক্রবৃদ্ধি সুদের বিষয় নিয়ে রচিত (পূর্বে এটি anatocism নামে পরিচিত ছিল), যেখানে পূর্ববর্তী লেখকরা সাধারণত তাদের গাণিতিক বইয়ের একটি অধ্যায়ে সংক্ষিপ্তভাবে এই বিষয়টি আলোচনা করতেন। উইটের বইটি ১০% (ঋণের ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ অনুমোদিত সুদের হার) এবং অন্যান্য হার অনুযায়ী বিভিন্ন উদ্দেশ্যে, যেমন সম্পত্তি ইজারা মূল্যায়ন, টেবিল সরবরাহ করেছিল। তিনি একজন লন্ডন-ভিত্তিক গণিত বিশেষজ্ঞ ছিলেন এবং তার বইটি স্পষ্ট ব্যাখ্যা, গভীর অন্তর্দৃষ্টি এবং সঠিক হিসাবের জন্য বিশেষভাবে উল্লেখযোগ্য, যেখানে ১২৪টি কাজ করা উদাহরণ ছিল।

জ্যাকব বার্নুলি ১৬৮৩ সালে চক্রবৃদ্ধি সুদ সম্পর্কিত একটি প্রশ্ন বিশ্লেষণ করতে গিয়ে ধ্রুবক $e$ আবিষ্কার করেন।

১৯ শতকে, এবং সম্ভবত তারও আগে, পারস্যের ব্যবসায়ীরা মাসিক কিস্তির হিসাবের জন্য সামান্য পরিবর্তিত লিনিয়ার টেলর আনুমানিক পদ্ধতি ব্যবহার করতেন, যা তারা সহজেই মনে রাখতে পারতেন।

আধুনিক সময়ে, আলবার্ট আইনস্টাইনের একটি বিখ্যাত উক্তি চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে বিশেষভাবে প্রাসঙ্গিক: "যে এটি বোঝে, সে এটি অর্জন করে; যে বোঝে না, সে এটি পরিশোধ করে।"

অবিচ্ছিন্ন চক্রবৃদ্ধি

যখন বছরে চক্রবৃদ্ধি প্রক্রিয়ার সংখ্যা সীমাহীনভাবে বাড়ানো হয়, তখন অবিচ্ছিন্ন চক্রবৃদ্ধি (Continuous compounding) ঘটে। এ ক্ষেত্রে কার্যকর বার্ষিক হার টেমপ্লেট:Math-এর একটি উপরের সীমার দিকে পৌঁছে। অবিচ্ছিন্ন চক্রবৃদ্ধি এমন একটি অবস্থাকে বোঝায় যেখানে চক্রবৃদ্ধি সময়কালকে অসীমভাবে ছোট করা হয়, যা সীমা হিসেব করে n-এর মান অসীমে নিয়ে যাওয়ার মাধ্যমে অর্জন করা হয়। অবিচ্ছিন্ন চক্রবৃদ্ধিতে t সময় পরে মোট পরিমাণ, P₀ প্রাথমিক পরিমাণের উপর নির্ভর করে নিচের সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা যায়:

$$P(t)=P_0{e}^{rt}.$$

সুদের বল

অবিচ্ছিন্ন চক্রবৃদ্ধি প্রক্রিয়ায় চক্রবৃদ্ধির সংখ্যা $n$ অসীমের দিকে ধাবিত হলে, অবিচ্ছিন্ন চক্রবৃদ্ধি সুদের হারকে সুদের বল (Force of interest) $\delta$ বলা হয়। কোনো অবিচ্ছিন্নভাবে পৃথকযোগ্য accumulation function a(t)-এর জন্য, সুদের বল বা আরও নির্দিষ্টভাবে লগারিদমিক বা অবিচ্ছিন্ন চক্রবৃদ্ধি রিটার্ন সময়ের একটি ফাংশন হিসাবে প্রকাশিত হয়:

$${\delta }_t=\frac{a^{\prime }(t)}{a(t)}=\frac{d}{dt}\ln a(t)$$

এটি লগারিদমিক গুণফলের লগারিদমিক ডেরিভেটিভ।

উল্টোভাবে: $$a(t)=e^{\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\delta }_{s}ds},$$ (যেহেতু $a(0)=1$, এটি product integral-এর একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে হিসেবে দেখা যেতে পারে।)

যখন উপরোক্ত সূত্রটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের রূপে লেখা হয়, তখন সুদের বল কেবল পরিবর্তনের গুণিতক: $$da(t)={\delta }_{t}a(t)dt$$

যখন সুদ একটি নির্দিষ্ট বার্ষিক হার r অনুযায়ী চক্রবৃদ্ধি হয়, তখন সুদের বল একটি ধ্রুবক হয় এবং সুদের বলের দৃষ্টিকোণ থেকে চক্রবৃদ্ধি সুদের সঞ্চিত ফাংশন e-এর একটি সরল ঘাত রূপে প্রকাশ করা যায়: $$\delta =\ln (1+r)$$ বা $$a(t)=e^{t\delta }$$

সুদের বল বার্ষিক কার্যকর সুদের হারের চেয়ে কম, কিন্তু বার্ষিক কার্যকর ছাড়ের হার (Annual effective discount rate)-এর চেয়ে বেশি। এটি e-ফোল্ডিং সময়ের বিপরীত।

মুদ্রাস্ফীতির বল মডেলিংয়ের একটি পদ্ধতি হল স্টুডলির সূত্র: ${\delta }_t=p+\frac{s}{1+rs{e}^{st}}$, যেখানে p, r এবং s আনুমানিক।

চক্রবৃদ্ধির ভিত্তি

একটি চক্রবৃদ্ধি ভিত্তি থেকে অন্যটিতে সুদের হার রূপান্তর করতে, যাতে

$${(1+\frac{r_1}{n_1})}^{n_1}={(1+\frac{r_2}{n_2})}^{n_2}$$

নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করুন:

$$r_2=[{(1+\frac{r_1}{n_1})}^{\frac{n_1}{n_2}}-1]n_2,$$

এখানে r₁ হল n₁ চক্রবৃদ্ধি ফ্রিকোয়েন্সি অনুযায়ী সুদের হার, এবং r₂ হল n₂ চক্রবৃদ্ধি ফ্রিকোয়েন্সি অনুযায়ী সুদের হার।

যখন সুদ অবিচ্ছিন্ন চক্রবৃদ্ধি হিসাবে গাণিতিক হয়, তখন ব্যবহার করুন:

$$\delta =n\ln (1+\frac{r}{n}),$$

এখানে $\delta$ অবিচ্ছিন্ন চক্রবৃদ্ধি ভিত্তিতে সুদের হার এবং r হল n চক্রবৃদ্ধি ফ্রিকোয়েন্সির সাথে নির্ধারিত সুদের হার।

মাসিক ঋণ বা বন্ধক পরিশোধ (অ্যামরটাইজড)

টেমপ্লেট:আরও দেখুন যেসব ঋণ বা বন্ধক অ্যামরটাইজড, অর্থাৎ যেগুলোর মাসিক পরিশোধ স্থির থাকে এবং ঋণ সম্পূর্ণ পরিশোধ না হওয়া পর্যন্ত এই পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকে, সেগুলোর সুদ সাধারণত মাসিক ভিত্তিতে যৌগিকভাবে গণনা করা হয়। মাসিক পরিশোধের সূত্র নিচের যুক্তি থেকে প্রাপ্ত।

মাসিক পরিশোধের সঠিক সূত্র

মাসিক পরিশোধ ($c$) নির্ণয়ের সঠিক সূত্র হলো: $$c=\frac{rP}{1-\frac{1}{(1+r{)}^n}}$$ অথবা সমতুল্যভাবে: $$c=\frac{rP}{1-e^{-n\ln (1+r)}}$$

যেখানে:

• $c$ = মাসিক পরিশোধের পরিমাণ
• $P$ = মূলধন (principal)
• $r$ = মাসিক সুদের হার
• $n$ = পরিশোধের মোট সময়কাল (পেমেন্ট পিরিয়ডের সংখ্যা)

স্প্রেডশিট সূত্র

স্প্রেডশিটে, PMT() ফাংশনটি ব্যবহার করা হয়। এর সিনট্যাক্স হলো:

PMT(interest_rate, number_payments, present_value, future_value, [Type])

মাসিক পরিশোধের আনুমানিক সূত্র

একটি আনুমানিক সূত্র ব্যবহার করে কয়েক শতাংশের মধ্যে সঠিক ফলাফল পাওয়া যায়। এটি বিশেষভাবে প্রযোজ্য যখন সাধারণ মার্কিন নোট রেট ($I<8\mathrm{\%}$ এবং সময়কাল $T$= ১০–৩০ বছর) থাকে। এই ক্ষেত্রে মাসিক নোট রেট ১-এর তুলনায় অনেক ছোট হয় ($r<<1$)। ফলে $\ln (1+r)\approx r$, যা সূত্রটিকে সরল করে:

$$c\approx \frac{Pr}{1-e^{-nr}}=\frac{P}{n}\frac{nr}{1-e^{-nr}}$$

এটি সাহায্যকারী কিছু পরিবর্তনশীল সংজ্ঞায়িত করার প্রস্তাব দেয়:

$$Y\equiv nr=IT$$$$c_0\equiv \frac{P}{n}.$$

এখানে $c_0$ হলো একটি শূন্য সুদযুক্ত ঋণ, যা $n$ কিস্তিতে পরিশোধের জন্য প্রয়োজনীয় মাসিক পরিমাণ। এই পরিবর্তনশীলগুলো ব্যবহার করে সূত্রটি লেখা যায় $c\approx c_0\frac{Y}{1-e^{-Y}}$।

ধরা যাক, $X=\frac{1}{2}Y$। এরপর $c\approx c_0(1+X+\frac{X^2}{3})$ সূত্রটি $X\le 1$ হলে ১% এর মধ্যে যথার্থ।