ত্রিকোণমিতিক ধারা

গণিতশাস্ত্রে ত্রিকোণমিতিক ধারা ( ইংরেজি:Trigonometric series) একটি অসীম ধারা যার সাধারণ পদ নিম্নরূপ:

$A_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\cos (nx)+B_n\sin (nx),$

যেখানে $x$ হচ্ছে চলক এবং $\{A_n\}$ ও $\{B_n\}$ সহগ। এটি ত্রিকোণমিতিক বহুপদীর এক অসীম সংস্করণ।

একটি ত্রিকোণমিতিক ধারাকে যোগজীকরণযোগ্য অপেক্ষক $f$ এর ফুরিয়ার ধারা বলা হয় যদি সহগগুলির ধরন নিম্নরূপ হয়:

$A_n=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x)\cos (nx)dx$

$B_n=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(x)\sin (nx)dx$

উদাহরণ

একক অপেক্ষকের ফুরিয়ে ধারা পর্যায়ক্রমিক ব্যবধানের শেষের কাছাকাছি গিবস ঘটনা থেকে ভোগে।

প্রতিটি ফুরিয়ে ধারা একটি ত্রিকোণমিতিক ধারার উদাহরণ। $[-\pi ,\pi ]$ এর জন্য ফাংশন $f(x)=x$ পর্যায়ক্রমে প্রসারিত করা হলে এর ফুরিয়ে সহগ হবে:

$\begin{array}{cc}{A}_n& =\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}x\cos (nx)dx=0,n\ge 0.\\ B_n& =\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}x\sin (nx)dx\\ & =-\frac{x}{n\pi }\cos (nx)+\frac{1}{n^2\pi }\sin (nx){|}_{x=-\pi }^{\pi }\\ & =\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n},n\ge 1.\end{array}$

যা একটি ত্রিকোণমিতিক ধারার উদাহরণ:

$2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin (nx)=2\sin (x)-\frac{2}{2}\sin (2x)+\frac{2}{3}\sin (3x)-\frac{2}{4}\sin (4x)+\cdots$