পরম মান

বাস্তব সংখ্যার পরম মানের ফাংশনের লেখচিত্র

গণিতশাস্ত্রে কোন বাস্তব সংখ্যা a এর 'পরম মান' বা মডুলাস (প্রতীক: |a|) বলতে সংখ্যাটির শুধু সাংখ্যিক মানকে বোঝায়। অর্থাৎ +১০ এর পরম মান ১০ আবার -১০ এর পরম মানও ১০। কোন সংখ্যার পরম মানকে সংখ্যারেখায় মূলবিন্দু থেকে সংখ্যাটির দূরত্ব হিসেবে চিন্তা করা যায়।

সংজ্ঞা ও বৈশিষ্ট্যসমূহ

যেকোন বাস্তব সংখ্যা a এর পরম মানকে |a| দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং নিম্নোক্ত ভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

$|a|=\{\begin{array}{cc}a,& \text{if }a\ge 0\\ -a,& \text{if }a<0\end{array}$

উপর্যুক্ত সংজ্ঞা থেকে দেখা যায় a এর পরম মান সবসময়ই ধনাত্বক হবে কখনোই ঋণাত্বক হতে পারবে না। যেহেতু + বা - চিহ্ন বর্জিত বর্গমূলচিহ্ন শুধু ধনাত্বক বর্গমূলকে নির্দেশ করে সুতরাং

$|a|=\sqrt{a^2}$

যা কোথাও কোথাও পরম মানের সংজ্ঞা হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

পরম মানের নিম্নোক্ত ৪টি মৌলিক বিধি রয়েছে:

$|a|\ge 0$

$|a|=0⟺a=0$

$|ab|=|a||b|$

$|a+b|\le |a|+|b|$

আরও কিছু গুরুত্বপূর্ণ বিধিসমূহ:

$||a||=|a|$

$|-a|=|a|$

$|a-b|=0⟺a=b$

$|a-b|\le |a-c|+|c-b|$

$|a/b|=|a|/|b|\text{ (if }b\ne 0)$

$|a-b|\ge ||a|-|b||$

অসমতা সংক্রান্ত আর দুটি মৌলিক বিধি:

$|a|\le b⟺-b\le a\le b$

$|a|\ge b⟺a\le -b\text{ or }b\le a$

এই সম্পর্ক গুলো পরম মান সংক্রান্ত অসমতা সমাধানে ব্যবহার করা যায়। উদাহরণ স্বরুপ:

$|x-3|\le 9$	$⟺-9\le x-3\le 9$
	$⟺-6\le x\le 12$

জটিল সংখ্যার পরম মান

জটিল সংখ্যা z এর পরম মান হল z থেকে মূলবিন্দুর দুরত্ব r। চিত্র থেকে আরো দেখা যায় z এবং এর জটিল অনুবন্ধী  টেমপ্লেট:Overline এর মান সমান।

কোন জটিল সংখ্যা

$z=x+iy,$

যেখানে x ও y হল বাস্তব সংখ্যা, তার পরম মান |z| হল

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

যখন z কে পোলার ফরমে প্রকাশ করা হয়

$z=r{e}^{i\theta }$

যেখানে r ≥ 0 এবং θ বাস্তব, তখন z এর পরম মান

$|z|=r$