পাটিগণিত-জ্যামিতিক গড়

পাটিগণিতের প্লট–জ্যামিতিক গড় $\mathrm{agm}(1,x)$ বিভিন্ন সাধারণীকৃত উপায়ের মধ্যে।

গণিতে, দুটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math এর পাটিগণিত–জ্যামিতিক গড় (ইংরেজি Arithmetic–geometric mean বা AGM ) হল পাটিগণিত উপায়ের একটি ক্রম এবং জ্যামিতিক উপায়ের একটি ক্রমের পারস্পরিক সীমা। পাটিগণিত–জ্যামিতিক গড় দ্রুত অ্যালগরিদমে ব্যবহৃত হয় সূচকীয়, ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং অন্যান্য বিশেষ ফাংশনের জন্য, সেইসাথে কিছু গাণিতিক ধ্রুবক, বিশেষ করে, π কম্পিউটিং ।

পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক অর্থের অসমতা তা বোঝায় $$g_n\le a_n$$ এবং এইভাবে $$g_{n+1}=\sqrt{g_n\cdot a_n}\ge \sqrt{g_n\cdot g_n}=g_n$$ অর্থাৎ, ক্রম টেমপ্লেট:Math কমছে না এবং উপরে টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math এর বড় দ্বারা আবদ্ধ। একঘেয়ে অভিসারী উপপাদ্য দ্বারা, ক্রমটি অভিসারী, তাই সেখানে একটি টেমপ্লেট:Math আছে যেমন: $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_n=g$$ যাইহোক, আমরা এটিও দেখতে পারি: $$a_n=\frac{g_{n+1}^2}{g_n}$$ এবং তাই: $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{g_{n+1}^2}{g_n}=\frac{g^2}{g}=g$$

পাটিগণিত–জ্যামিতিক গড়কে জটিল সংখ্যায় প্রসারিত করা যেতে পারে এবং যখন বর্গমূলের শাখাগুলিকে অসঙ্গতভাবে নেওয়ার অনুমতি দেওয়া হয়, তখন সাধারণত এটি একটি বহুমূল্যের ফাংশন ।

উদাহরণ

টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math এর পাটিগণিত-জ্যামিতিক গড় খুঁজে পেতে, নিম্নরূপ পুনরাবৃত্তি করুন: $$\begin{array}{ccccc}{a}_1& =& \frac{1}{2}(24+6)& =& 15\\ g_1& =& \sqrt{24\cdot 6}& =& 12\\ a_2& =& \frac{1}{2}(15+12)& =& 13.5\\ g_2& =& \sqrt{15\cdot 12}& =& 13.4164078649\dots \\ & & ⋮& & \end{array}$$ প্রথম পাঁচটি পুনরাবৃত্তি নিম্নলিখিত মান দেয়:

টেমপ্লেট:Math	টেমপ্লেট:Math	টেমপ্লেট:Math
0	24	6
1	টেমপ্লেট:Underline5	টেমপ্লেট:Underline2
2	টেমপ্লেট:Underline.5	টেমপ্লেট:Underline.416 407 864 998 738 178 455 042...
3	টেমপ্লেট:Underline 203 932 499 369 089 227 521...	টেমপ্লেট:Underline 139 030 990 984 877 207 090...
4	টেমপ্লেট:Underline45 176 983 217 305...	টেমপ্লেট:Underline06 053 858 316 334...
5	টেমপ্লেট:Underline20...	টেমপ্লেট:Underline06...

সংখ্যার সংখ্যা যেখানে টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math সম্মত (আন্ডারলাইন) প্রতিটি পুনরাবৃত্তির সাথে প্রায় দ্বিগুণ হয়। ২৪ এবং ৬ এর পাটিগণিত-জ্যামিতিক গড় হল এই দুটি অনুক্রমের সাধারণ সীমা, যা প্রায় টেমপ্লেট:Val ।

ইতিহাস

এই ক্রম জোড়ার উপর ভিত্তি করে প্রথম অ্যালগরিদম Lagrange (ল্যাগ্রঞ্জ) এর কাজগুলিতে উপস্থিত হয়েছিল। এর বৈশিষ্ট্যগুলি গাউস দ্বারা আরও বিশ্লেষণ করা হয়েছিল।

বৈশিষ্ট্য

দুটি সংখ্যার মধ্যে টেমপ্লেট:Mvar এবং টেমপ্লেট:Mvar দুটি ধনাত্মক সংখ্যার জ্যামিতিক গড় এবং গাণিতিক গড় উভয়ই রয়েছে। (এগুলি কঠোরভাবে যখন টেমপ্লেট:Math মধ্যে থাকে।) দুটি ধনাত্মক সংখ্যার জ্যামিতিক গড় কখনই পাটিগণিত গড় থেকে বেশি হয় না। সুতরাং জ্যামিতিক মানে হল একটি ক্রমবর্ধমান ক্রম টেমপ্লেট:Math ; পাটিগণিতের অর্থ হল একটি ক্রমহ্রাসমান ক্রম টেমপ্লেট:Math ; এবং টেমপ্লেট:Math যেকোনো টেমপ্লেট:Mvar এর জন্য। এইগুলি কঠোর অসমতা যদি টেমপ্লেট:Math হয়।

টেমপ্লেট:Math এর জন্য একটি অখণ্ড-রূপ রাশি আছে : $$\begin{array}{cc}M(x,y)& =\frac{\pi }{2}{\left(\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }}\right)}^{-1}\\ & =\pi {\left(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{t(t+x^2)(t+y^2)}}\right)}^{-1}\\ & =\frac{\pi }{4}\cdot \frac{x+y}{K\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}\end{array}$$ যেখানে টেমপ্লেট:Math হল প্রথম ধরনের সম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার অখণ্ড : $$K(k)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2(\theta )}}$$ যেহেতু পাটিগণিত-জ্যামিতিক প্রক্রিয়াটি এত দ্রুত একত্রিত হয়, এটি উপবৃত্তাকার অখণ্ডগুলি গণনা করার একটি কার্যকর উপায় প্রদান করে, যেগুলি ব্যবহার করা হয়, উদাহরণস্বরূপ, উপবৃত্তাকার ফিল্টার ডিজাইনে।
পাটিগণিত-জ্যামিতিক গড় জ্যাকোবি থিটা ফাংশনের সাথে সংযুক্ত ${\theta }_3$ দ্বারা $$M(1,x)={\theta }_3^{-2}(\exp (-\pi \frac{M(1,x)}{M(1,\sqrt{1-x^2})}))={(\sum _{n\in \mathbb{Z}}\exp (-n^2\pi \frac{M(1,x)}{M(1,\sqrt{1-x^2})}))}^{-2},$$ যা সেট করার সময় $x=1/\sqrt{2}$ দেয় $$M(1,1/\sqrt{2})={\left(\sum _{n\in \mathbb{Z}}{e}^{-n^2\pi }\right)}^{-2}.$$

সম্পর্কিত ধারণা

১ এর পাটিগণিত–জ্যামিতিক গড় এবং ২ এর বর্গমূলের পারস্পরিক অর্থ হল গাউসের ধ্রুবক । $$\frac{1}{M(1,\sqrt{2})}=G=0.8346268\dots$$ ১৭৯৯ সালে, গাউস প্রমাণ করেছিলেন যে $$M(1,\sqrt{2})=\frac{\pi }{\varpi }$$ যেখানে $\varpi$ লেমনিসকেট ধ্রুবক।

১৯৪১ সালে, $M(1,\sqrt{2})$ (এবং তাই $G$ ) থিওডর স্নাইডার দ্বারা অতীন্দ্রিয় প্রমাণিত হয়েছিল। সেট $\{\pi ,M(1,1/\sqrt{2})\}$ বীজগণিতভাবে স্বাধীন ওভার $\mathbb{Q}$, কিন্তু সেট $\{\pi ,M(1,1/\sqrt{2}),M^{\prime }(1,1/\sqrt{2})\}$ (যেখানে প্রাইম দ্বিতীয় ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভকে বোঝায়) বীজগণিতভাবে স্বাধীন নয় $\mathbb{Q}$ . আসলে, $$\pi =2\sqrt{2}\frac{M^3(1,1/\sqrt{2})}{M^{\prime }(1,1/\sqrt{2})}.$$ জ্যামিতিক-হারমনিক গড় GH জ্যামিতিক এবং সুরেলা উপায়ের সাদৃশ্য ক্রম ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে এবং আসলে টেমপ্লেট:Math । পাটিগণিত–হারমোনিক গড় জ্যামিতিক গড়ের সমতুল্য ।

পাটিগণিত-জ্যামিতিক গড় গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে - অন্যদের মধ্যে - লগারিদম, প্রথম এবং দ্বিতীয় ধরণের সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার অখণ্ড, এবং জ্যাকোবি উপবৃত্তাকার ফাংশন ।

অস্তিত্বের প্রমাণ

পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক অর্থের অসমতা তা বোঝায় $$g_n\le a_n$$ এবং এইভাবে $$g_{n+1}=\sqrt{g_n\cdot a_n}\ge \sqrt{g_n\cdot g_n}=g_n$$ অর্থাৎ, ক্রম টেমপ্লেট:Math কমছে না এবং উপরে টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math এর বড় দ্বারা আবদ্ধ। একঘেয়ে অভিসারী উপপাদ্য দ্বারা, ক্রমটি অভিসারী, তাই সেখানে একটি টেমপ্লেট:Math আছে যেমন: $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_n=g$$ যাইহোক, আমরা এটিও দেখতে পারি: $$a_n=\frac{g_{n+1}^2}{g_n}$$ এবং তাই: $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{g_{n+1}^2}{g_n}=\frac{g^2}{g}=g$$

অখণ্ড-রূপ অভিব্যক্তির প্রমাণ

এই প্রমাণ গাউস দিয়েছেন। যাক

$$d\theta =\frac{2x\cos {\theta }^{\prime }((x+y)-(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })\sqrt{(x+y{)}^2-2(x^2+y^2){\sin }^2{\theta }^{\prime }+(x-y{)}^2{\sin }^4{\theta }^{\prime }}}d{\theta }^{\prime },$$ $$x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta =\frac{x^2((x+y{)}^2-2(x^2+y^2){\sin }^2{\theta }^{\prime }+(x-y{)}^2{\sin }^4{\theta }^{\prime })+4x^2{y}^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }{)}^2}=\frac{x^2((x+y)-(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }{)}^2}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }{)}^2}$$

ইন্টিগ্রেশন এর পরিবর্তনশীল পরিবর্তন ${\theta }^{\prime }$, কোথায়

$$\sin \theta =\frac{2x\sin {\theta }^{\prime }}{(x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }},$$

$$\cos \theta =\frac{\sqrt{(x+y{)}^2-2(x^2+y^2){\sin }^2{\theta }^{\prime }+(x-y{)}^2{\sin }^4{\theta }^{\prime }}}{(x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }},$$

$$\cos \theta d\theta =2x\frac{(x+y)-(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }{)}^2}\cos {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime },$$

$$d\theta =\frac{2x\cos {\theta }^{\prime }((x+y)-(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })\sqrt{(x+y{)}^2-2(x^2+y^2){\sin }^2{\theta }^{\prime }+(x-y{)}^2{\sin }^4{\theta }^{\prime }}}d{\theta }^{\prime },$$ $$x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta =\frac{x^2((x+y{)}^2-2(x^2+y^2){\sin }^2{\theta }^{\prime }+(x-y{)}^2{\sin }^4{\theta }^{\prime })+4x^2{y}^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }{)}^2}=\frac{x^2((x+y)-(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }{)}^2}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime }{)}^2}$$

এই ফলন $$\frac{d\theta }{\sqrt{x^2{\cos }^2\theta +y^2{\sin }^2\theta }}=\frac{2x\cos {\theta }^{\prime }((x+y)-(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })}{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })\sqrt{(x+y{)}^2-2(x^2+y^2){\sin }^2{\theta }^{\prime }+(x-y{)}^2{\sin }^4{\theta }^{\prime }}}\frac{((x+y)+(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })}{x((x+y)-(x-y){\sin }^2{\theta }^{\prime })}=\frac{2\cos {\theta }^{\prime }d{\theta }^{\prime }}{\sqrt{(x+y{)}^2-2(x^2+y^2){\sin }^2{\theta }^{\prime }+(x-y{)}^2{\sin }^4{\theta }^{\prime }}},$$

দেয়

$$\begin{array}{cc}I(x,y)& =\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d{\theta }^{\prime }}{\sqrt{(\frac{1}{2}(x+y){)}^2{\cos }^2{\theta }^{\prime }+(\sqrt{xy}{)}^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }}}\\ & =I(\frac{1}{2}(x+y),\sqrt{xy}).\end{array}$$

এইভাবে, আমরা আছে

$$\begin{array}{cc}I(x,y)& =I(a_1,g_1)=I(a_2,g_2)=\cdots \\ & =I(M(x,y),M(x,y))=\pi /(2M(x,y)).\end{array}$$ শেষ সমতা যে পর্যবেক্ষণ থেকে আসে $I(z,z)=\pi /(2z)$ .

অবশেষে, আমরা পছন্দসই ফলাফল প্রাপ্ত

$$M(x,y)=\pi /(2I(x,y)).$$

অ্যাপ্লিকেশন

সংখ্যা π

গাউস-লেজেন্ডার অ্যালগরিদম অনুসারে,

$$\pi =\frac{4M(1,1/\sqrt{2}{)}^2}{1-\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{j+1}{c}_j^2},$$

যেখানে

$$c_j=\frac{1}{2}(a_{j-1}-g_{j-1}),$$

সঙ্গে $a_0=1$ এবং $g_0=1/\sqrt{2}$, যা ব্যবহার করে নির্ভুলতার ক্ষতি ছাড়াই গণনা করা যেতে পারে

$$c_j=\frac{c_{j-1}^2}{4a_j}.$$

সম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার অবিচ্ছেদ্য K (sin α )

নিচ্ছেন $a_0=1$ এবং $g_0=\cos \alpha$ AGM ফলন

$$M(1,\cos \alpha )=\frac{\pi }{2K(\sin \alpha )},$$

যেখানে টেমপ্লেট:Math হল প্রথম ধরনের একটি সম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার অখণ্ড :

$$K(k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(1-k^2{\sin }^2\theta {)}^{-1/2}d\theta .$$

অর্থাৎ এজিএমের মাধ্যমে এই ত্রৈমাসিক সময়টি দক্ষতার সাথে গণনা করা যেতে পারে, $$K(k)=\frac{\pi }{2M(1,\sqrt{1-k^2})}.$$

অন্যান্য অ্যাপ্লিকেশন

জন ল্যান্ডেন এর আরোহী রূপান্তর সহ AGM-এর এই বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করে, রিচার্ড পি. ব্রেন্ট প্রাথমিক ট্রান্সসেন্ডেন্টাল ফাংশনগুলির দ্রুত মূল্যায়নের জন্য প্রথম এজিএম অ্যালগরিদমের পরামর্শ দিয়েছেন ( টেমপ্লেট:Math, টেমপ্লেট:Math, টেমপ্লেট:Math )। পরবর্তীকালে, অনেক লেখক এজিএম অ্যালগরিদমগুলির ব্যবহার অধ্যয়ন করতে গিয়েছিলেন।