ফ্রিদমান সমীকরণ

টেমপ্লেট:উৎসহীনটেমপ্লেট:বিশ্বতত্ত্ব এই সমীকরণগুলো রাশিয়ান জ্যোতির্বিজ্ঞানী আলেক্সান্দ্র্‌ আলেক্সান্দ্রোভিচ ফ্রিদমান প্রবর্তন করেন।

সূত্রগুলো হলো:

$H^2\equiv {\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G\rho +\mathrm{\Lambda }}{3}-K\frac{c^2}{a^2}$

$3\frac{\ddot{a}}{a}=\mathrm{\Lambda }-4\pi G(\rho +\frac{3p}{c^2})$

where $\rho$ and $p$ are the density and pressure of the fluid, $\mathrm{\Lambda }$

আরও সরল রূপ হলো:

$\rho \to \rho -\frac{\mathrm{\Lambda }}{8\pi G}$

$p\to p+\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{8\pi G}$

যা থেকে আমরা পাই:

$H^2\equiv {\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -K\frac{c^2}{a^2}$

$3\frac{\ddot{a}}{a}=-4\pi G(\rho +\frac{3p}{c^2})$

সংকট ঘনত্ব

মহাবিশ্বের সম্প্রসারণ শেষমেশ থেমে গিয়ে, সংকোচন শুরু হওয়ার জন্য মহাজাগতিক ভর-ঘনত্বকে সর্বনিম্ন যে মানবিশিষ্ট হতে হবে তাকে সংকট ঘনত্ব (critical density) বলা হয়। মহাজাগতিক ভর-ঘনত্ব যদি সংকট ঘনত্বের চেয়ে বেশি হয় তাহলে মহাবিশ্ব স্থানিকভাবে(spatially) সসীম হবে। একে ρ_c দ্বারা সূচিত করা হয়।

সংকট ঘনত্বের সমীকরণ

ধরা যাক, R ব্যাসার্ধের একটি সুষম গোলকের মধ্যে রয়েছে অনেকগুলি ছায়াপথ। (হিসাবের সুবিধার্থে ধরে নিচ্ছি যে, যেকোন দুইটি ছায়াপথগুচ্ছের মধ্যকার দূরত্বের তুলনায় বড় হলেও মহাবিশ্বের সামগ্রিক আকৃতির তুলনায় R ক্ষুদ্রতর।)

এই সুষম গোলকটির ভর(M) হবে এর আয়তন ও মহাজাগতিক ভর-ঘনত্ব(ρ) এর গুণফলের সমান:

                                      $M=\frac{4\pi R^3}{3}\rho$

এই গোলকটির পৃষ্ঠদেশে অবস্থিত যেকোন ছায়াপথের বিভব শক্তি নিউটনের মহাকর্ষতত্ত্ব থেকে পাওয়া যায়:

                                      $P.E.=-\frac{mMG}{R}=-\frac{4\pi m{R}^2\rho G}{3}$

যেখানে, m হলো ছায়াপথটির ভর, এবং G হলো সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক

                                     $G=6.673*10^{-11}N{m}^{2}k{g}^{-2}$

হাবলের নীতি অনুসারে ছায়াপথটির দ্রুতি V হবে,

                                     $V=HR$

যেখানে H হলো হাবলের ধ্রুবক। সুতরাং গোলকপৃষ্ঠে অবস্থিত ছায়াপথটির গতিশক্তি হবে,

                                    $K.E.=\frac{1}{2}m{V}^2=\frac{1}{2}m{H}^2{R}^2$

এখন ছায়াপথটির বিভব শক্তি এবং গতিশক্তির সমষ্টি নিলে পাওয়া যাবে এর মোট শক্তি,

                                   $E=P.E.+K.E.=m{R}^2[\frac{1}{2}{H}^2-\frac{4}{3}\pi \rho G]$

শক্তির নিত্যতার নীতি অনুযায়ী মহাবিশ্ব সম্প্রসারিত হলেও মোট শক্তি(E) এর মান সদা অপরিবর্তীত থাকবে।

যদি E এর মান ঋণাত্মক হয়, তাহলে মহাবিশ্ব কখনোই অসীম পরিমাণে সম্প্রসারিত হতে পারবে না, কারণ অসীম দূরত্বে বিভবশক্তির মান নগণ্য হওয়ায় মোট শক্তির সিংহভাগ থাকে গতিশক্তি, যা কিনা সবসময়ই ধনাত্মক। অন্যদিকে, E এর মান ধনাত্মক হলে অসীম দূরত্বেও কিছু গতিশক্তি অবশিষ্ট থাকায় মহাবিশ্বের পক্ষে অসীম পরিমাণ সম্প্রসারণ সম্ভবপর হয়। সুতরাং, ছায়াপথটি কাঁটায় কাঁটায় মুক্তিবেগ প্রাপ্ত হওয়ার শর্ত হবে,

                                   $\frac{1}{2}{H}^2$ = $\frac{4}{3}\pi \rho G$

অন্যভাবে বলতে গেলে, এ অবস্থার জন্য ঘনত্বের মান হতে হবে,

                                  $\rho$c = $\frac{3H^2}{8\pi G}$

এটাই হলো সংকট ঘনত্বের সমীকরণ। (এখানে নিউটনীয় পদার্থবিদ্যা ব্যবহৃত হলেও মহাবিশ্বের অন্তর্গত বস্তুসমূহ দারুনরকম আপেক্ষিক হলে সেক্ষেত্রেও এই সমীকরণটি প্রযোজ্য হবে- কেবল $\rho$ কে মোট শক্তি-ঘনত্ব এবং c² এর অনুপাত হিসেবে বিবেচনা করতে হবে।)

উদাহরণস্বরপ, যদি H এর অধুনা জনপ্রিয় মান ১৫ কিলোমিটার প্রতি সেকেন্ড প্রতি মিলিয়ন আলোকবর্ষ(১ আলোকবর্ষ = ৯.৪৬ x ১০^১২ কিলোমিটার) ব্যবহার করা হয় তবে:

             $\rho$c = $\frac{3}{8\pi (6.67*10^{8}c{m}^3/gmse{c}^2)}(\frac{15km/sec/10^{6}ltyrs}{9.46*1012km/ltyr}{)}^2=4.5*10^{-30}gm/c{m}^2$

প্রতি গ্রামে নিউক্লীয় কণা আছে ৬.০২ X ১০^২৩ টি। সুতরাং সংকট ঘনত্বের এই মান নির্দেশ করে যে, প্রতি ঘনসেন্টিমিটারে ২.৭ X ১০^−৬ টি তথা প্রতি লিটারে ০.০০২৭ টি নিউক্লীয় কণা রয়েছে।