বহুপদী বন্টন

টেমপ্লেট:Cleanup টেমপ্লেট:Lead missing ধরা যাক $X_1,X_2,X_3,X_4,...,X_K$, যেখানে k > 1, হল র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবলের একটি সেট যাতে k সংখ্যক র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল আছে । ধরি, $X_1,X_2,...,X_k$এই র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবলগুলোর প্রত্যেকটা 0,1,2,...,n থেকে যে কোন মান গ্রহণ করতে পারে । এবং ধরি, k সংখ্যক অঋণাত্মক সংখ্যা $p_1,p_2,p_3,...,p_k$আছে যাদের যোগফল হল 1(সকল সম্ভাব্যতার যোগফল ১ হবে বলে অর্থাৎ $\sum _{i=1}^k{p}_i=p_1+p_2+p_3+...+p_k=1$)। আবার k সংখ্যক অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n_1,n_2,n_3,...,n_k$চিন্তা করা যাক যাদের যোগফলও হচ্ছে 1 অর্থাৎ $\sum _{i=1}^k{n}_i=n_1+n_2+n_3+...+n_k=n$,যেখানে প্রত্যেক $n_i(i=1,2,...,k)$ 1 থেকে n এর মধ্যে যে কোন পূর্ণ সংখ্যামান গ্রহণ করতে পারে । যে কোন $\{n_1,n_2,n_3,...,n_k\}$ সেট এর জন্য যদি $X_1=n_1$ এবং $X_2=n_2$ ,... এবং $X_k=n_k$ যৌথভাবে হওয়ার সম্ভাবনা

$\begin{array}{cc}P(X_1=n_1,X_2=n_2,...,X_k=n_k)& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-n_1}{n_2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-n_1-n_2}{n_3})...(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-n_1-n_2-...-n_k-2}{n_k-1}){p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2}...{p_k}^{n_k}\\ & =\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!...n_k!}{p_1}^{n_1}{p_2}^{n_2}...{p_k}^{n_k}\end{array}$

হয়,তাহলে বলা যায় প্যারামিটার n এবং $p_1,p_2,p_3,...,p_k$ বিশিষ্ট$X_1,X_2,...,X_k$এর একটি বহুপদী যৌথবণ্টন আছে । একটু অন্যভাবে বললে , $X_1,X_2,...,X_k$ কে k সংখ্যক ঘটনা হিসেবে বিবেচনা করে n বার পরীক্ষা অর্থাৎ এক্সপেরিমেন্ট চালিয়ে এই n বারের মধ্যে $X_1$ ঘটনাটি $n_1$বার,$X_2$ঘটনাটি $n_2$বার ,এভাবে ... $X_k$ ঘটনাটি $n_k$বার ($\sum _{i=1}^k{n}_i=n_1+n_2+n_3+...+n_k=n$) একসাথে ঘটার সম্ভাবনাকে উপর্যুক্ত সমীকরণ দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে । প্যারামিটার n হল যতবার পরীক্ষা অর্থাৎ এক্সপেরিমেন্ট করা হয়েছে তার মোট সংখ্যা আর প্যারামিটার $p_1,p_2,p_3,...,p_k$ হল k তম ক্যাটাগরি বা শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত থাকার সম্ভাবনা (1,2,3,...,k) এই k সংখ্যক ক্যাটাগরি বা শ্রেণীতে বিভক্ত বলে বিবেচনা করে )
ছক্কার গুটি দিয়ে উদাহরণ দেয়া যাক । ধরা যাক, একটা ছক্কার গুটি 5 (n = 5) বার ছুঁড়ে মেরে পরীক্ষা চালানো হচ্ছে । ছক্কার গুটিতে 1,2,3,4,5,6 ( k = 6) এর যে কোনটা উঠতে পারে । অর্থাৎ আমাদের আউটকামকে আমরা 6 টা ক্যাটাগরি বা শ্রেণীতে ভাগ করতে পারি । 1,2 থেকে 6 পর্যন্ত যে কোনটারই ওঠার সম্ভাবনা অর্থাৎ এই 6 টা শ্রেণীর যে কোন একটা শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত হওয়ার সম্ভাবনা হল 6 ভাগের 1 ভাগ (1/6) । $p_1=p_2=p_3=p_4=p_5=p_6=1/6$

আমরা ধরতে পারি , $X_i(i=1,2,...,k=6)$ হল n=5 বারের মধ্যে কয়বার i(i = 1,2,...,k=6) উঠেছে অর্থাৎ কয়বার i(i = 1,2,...,k=6) তম শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত ছিল তার সংখ্যা ধারণকারী র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল । তার মানে $X_5$হল 5 বারের মধ্যে কয়বার 5 উঠেছে তার সংখ্যা নির্দেশক র‍্যান্ডম ভ্যারিয়েবল । 5 বারের এক্সপেরিমেন্টে একটা সম্ভাব্য আউটকাম হতে পারে

$(X1=2,X2=1,X3=1,X4=1,X5=0,X6=0),$

এখানে $n_1=2$,$n_2=1$,$n_3=1$,$n_4=1$,$n_5=0$,$n_6=0$ । সবগুলো $n_i$ কে যোগ করলে যোগফল নিঃসন্দেহে হবে n = 5 ।

$\begin{array}{cc}P(X_1=2,X_2=1,X_3=1,X_4=1,X_5=0,X_6=0)& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5-2}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5-2-1}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5-2-1-1}{1})\\ & =\frac{5!}{2!.1!.1!.1!.0!.0!}.{1/6}^2.{1/6}^1.{1/6}^1.{1/6}^1.{1/6}^0.{1/6}^0\end{array}$