বোলৎসমান সমীকরণ

The place of the Boltzmann kinetic equation on the stairs of model reduction from microscopic dynamics to macroscopic continuum dynamics (illustration to the content of the book)

বোলৎসমান সমীকরণ (ইংরেজি ভাষায়: Boltzmann equation) অস্ট্রীয় পদার্থবিজ্ঞানী লুডভিগ বোলৎসমান প্রণীত একটি সমীকরণ যা তরলের মধ্যে অবস্থিত একটি কণার পরিসাংখ্যিক বণ্টন ব্যাখ্যা করে। সমীকরণটির অন্য নাম বোলৎসমান সঞ্চালন সমীকরণ বা ট্রান্সপোর্ট সমীকরণ। এটি সাম্যাবস্থাহীন পরিসাংখ্যিক গতিবিদ্যার সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সমীকরণগুলোর একটি। সাম্যাবস্থাহীন পরিসাংখ্যিক গতিবিদ্যা এমন সব ব্যবস্থা নিয়ে আলোচনা করে যারা তাপগতীয় সাম্যাবস্থা থেকে দূরে আছে, উদাহরণস্বরূপ, যখন একটি তাপমাত্রা ঢাল বা তড়িৎ ক্ষেত্র প্রয়োগ করা হয় তখন ব্যবস্থা আর সাম্যাবস্থায় থাকে না। একটি তরলের মধ্য দিয়ে কীভাবে তাপ, আধান বা এ ধরনের অন্যান্য ভৌত রাশি সঞ্চালিত হয় তা ব্যাখ্যা করা যায় বোলৎসমান সমীকরণের মাধ্যমে। এই সঞ্চালন ব্যাখ্যা করতে পারলে তরলের মধ্যে তড়িৎ পরিবাহিতা, হল পরিবাহিতা, সান্দ্রতা এবং তাপীয় পরিবাহিতা-র মত সঞ্চালন ক্রিয়াগুলো বোঝা যায়। সমীকরণটি প্রণয়নের ১৪০ বছর পর ২০১০ সালে এর একটি বৈশ্বিক সমাধান বের করতে সক্ষম হন বিজ্ঞানীরা।

একটি স্থূল উদাহরণ দিয়ে এটি ব্যাখ্যা করা যায়। ধরা যাক একটি বদ্ধ বাক্সে দুটি কুঠুরী আছে এবং কুঠুরী দুটি একটি ছিদ্র দিয়ে সংযুক্ত। একটি কুঠুরীতে সাদা রঙের পাউডার এবং অন্যটিতে কালো রঙের পাউডার আছে, ছিদ্রটি বন্ধ। এবার ছিদ্রটি খুলে দিয়ে বাক্সটি ঝাকাতে শুরু করলে দুই কুঠুরীর পাউডার মিশতে শুরু করবে। অনেকক্ষণ ঝাকানোর পর দেখা যাবে সব পাউডার মিশে গেছে এবং তাদের রঙ হয়ে গেছে ধূসর। এই প্রক্রিয়াটি কিন্তু খুবই বিশৃঙ্খল ছিল, আমরা শুরুতে প্রতিটি পাউডার কণার বেগ বা অবস্থান নিয়ে একেবারেই মাথা ঘামাইনি, কোন সূচন দশা ঠিক করে দেইনি। এবং যদি একটি-দুটো কণার ক্ষেত্রে তেমনটি করতাম তাতেও পরিস্থিতির তেমন কোন পরিবর্তন ঘটত না। কিন্তু এই কণাগুলোকে আবার আলাদা করা প্রায় অসম্ভব, বা খুবই অসম্ভাব্য। পরিসংখ্যানের সূত্রমতে অসীমকাল ঝাঁকাতে থাকলে একবার না একবার সাদা-কালো পাউডার কণাগুলোকে পৃথক পৃথক কুঠুরীতে ফিরিয়ে আনা সম্ভব, কিন্তু সাধারণ অর্থে সম্ভাবনা খুবই কম।

সমীকরণ

বোলৎসমান সমীকরণ সময়ের সাথে সাথে একটি বণ্টন (আসলে ঘনত্ব) অপেক্ষকের বিবর্তন নির্দেশ করে।

$\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial 𝐱}\cdot \frac{𝐩}{m}+\frac{\partial f}{\partial 𝐩}\cdot 𝐅={\frac{\partial f}{\partial t}|}_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}}.$