ব্রোকার্ডের সমস্যা

টেমপ্লেট:এর সাথে বিভ্রান্ত হবেন না টেমপ্লেট:অপ্রমাণিত ব্রোকার্ডের সমস্যা গণিতের সংখ্যাতত্ত্বের একটি অমীমাংসিত সমস্যা, যা ফরাসি গণিতবিদ হেনরি ব্রোকার্ডের নামে নামকরণ করা হয়েছে। সমস্যাটি $n!+1=m^2$ সমীকরণের পূর্ণসংখ্যা সমাধান খুঁজে বের করার সাথে সম্পর্কিত, যেখানে $n$ এবং $m$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। এ পর্যন্ত কেবল তিনটি সমাধান জানা গেছে, তবে সমস্যাটি এখনও সম্পূর্ণ সমাধান হয়নি।

ইতিহাস

১৮৭৬ সালে হেনরি ব্রোকার্ড প্রথম এই সমস্যাটি প্রস্তাব করেন। পরবর্তীতে ১৯১৩ সালে ভারতীয় গণিতবিদ শ্রীনিবাস রামানুজনও এই সমস্যাটি এককভাবে উল্লেখ করেন। সমস্যাটি "ব্রাউন সংখ্যা" ধারণার সাথেও যুক্ত, যা $(n,m)$ ক্রমজোড়কে নির্দেশ করে যেখানে $n!+1$ একটি পূর্ণবর্গ $(m^2)$।

সমস্যার বিবৃতি

ব্রোকার্ডের সমস্যাটি নিম্নলিখিত সমীকরণের সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সমাধান নির্ণয় করতে বলে: $n!+1=m^2$ এখানে $n!$ ($n$ ফ্যাক্টরিয়াল) হল $1$ থেকে $n$ পর্যন্ত সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল, এবং $m^2$ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

জ্ঞাত সমাধান

এখন পর্যন্ত নিম্নলিখিত তিনটি সমাধান আবিষ্কৃত হয়েছে:

• $n=4:$

$4!+1=24+1=25=5^2$ এখানে $m=5$।

• $n=5:$

$5!+1=120+1=121=11^2$ এখানে $m=11$।

• $n=7:$

$7!+1=5040+1=5041=71^2$ এখানে $m=71$ ।

এই তিনটি ছাড়া অন্য কোনো সমাধানের অস্তিত্ব আজও প্রমাণিত হয়নি।

গবেষণা ও অগ্রগতি

ব্রোকার্ডের সমস্যা নিয়ে বিংশ শতাব্দীতে ব্যাপক গবেষণা হয়েছে। গণিতবিদ পল এর্ডশ এবং অন্যান্যরা এই সমস্যাটির সম্ভাব্য সমাধান নিয়ে কাজ করেছেন। কম্পিউটেশনাল পদ্ধতিতে $n\le 10^9$ পর্যন্ত পরীক্ষা করা হয়েছে, কিন্তু নতুন কোনো সমাধান পাওয়া যায়নি।

সমস্যাটি সংখ্যাতত্ত্বের abc অনুমানের সাথেও সম্পর্কিত। যদি abc অনুমান প্রমাণিত হয়, তাহলে ব্রোকার্ডের সমস্যার সমাধানের পথে নতুন দিকনির্দেশনা পাওয়া যেতে পারে বলে ধারণা করা হয়।

তাৎপর্য

এই সমস্যাটির সরলতা সত্ত্বেও এর সমাধান অত্যন্ত জটিল। এটি ফ্যাক্টরিয়াল ফাংশন ও বর্গসংখ্যার মধ্যে সম্পর্ককে তুলে ধরে, এবং দেখায় যে ফ্যাক্টরিয়াল দ্রুত হারে বৃদ্ধি পায় বলে সমাধানগুলি বিরল। ব্রোকার্ডের সমস্যা সংখ্যাতত্ত্বের ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের শ্রেণিভুক্ত, যা গণিতের একটি গভীর ও চ্যালেঞ্জিং ক্ষেত্র।

আরও দেখুন

• ফ্যাক্টরিয়াল
• ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ
• abc অনুমান

তথ্যসূত্র

1. Berndt, B. C., & Galway, W. F. (2000). "On the Brocard–Ramanujan Diophantine Equation." The Ramanujan Journal.
2. Guy, R. K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer.
3. Overholt, M. (1993). "The Diophantine Equation $n!+1=m^2$." Bulletin of the London Mathematical Society.