সাইন নিয়ম

ত্রিকোণমিতিতে সাইন নিয়ম বা সাইনের সূত্র (টেমপ্লেট:Lang-en) বলতে একটি সমীকরণকে বোঝায় যা কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তাদের প্রতিটির বিপরীত কোণের সাথে সম্পর্ককে চিহ্নিত করে।

ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণ

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$$ যেখানে টেমপ্লেট:Math, ও টেমপ্লেট:Math হল ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্য, ও টেমপ্লেট:Math, ও টেমপ্লেট:Math হল বাহুত্রয়ের বিপরীত কোণ (উপরের চিত্র দেখুন) এবং টেমপ্লেট:Math হল ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ।

সাধারণত এই সূত্র সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ে ব্যবহার করা হয়।

উদাহরণ

পরিবৃত্তসহ ত্রিভুজ

চিত্রানুসারে S হল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।

নিম্নে কিছু উদাহরণ দিয়ে বোঝানো হল:

উদাহরণ ১

চিত্র ১

প্রদত্ত: বাহু টেমপ্লেট:Math, বাহু টেমপ্লেট:Math, ও কোণ টেমপ্লেট:Math. কোণ টেমপ্লেট:Math এর মান জানতে চাওয়া হয়েছে।

সাইন নিয়ম অনুসারে, $$\frac{\sin \alpha }{20}=\frac{\sin (40^{\circ })}{24}.$$ $$\alpha =\arcsin \left(\frac{20\sin (40^{\circ })}{24}\right)\approx 32.39^{\circ }.$$

α এর আরেকটি মান টেমপ্লেট:Math গৃহীত হয়নি কারণ এর জন্য টেমপ্লেট:Math হয়ে যাবে।

উদাহরণ ২

চিত্র ২

ত্রিভুজের দুটি বাহু টেমপ্লেট:Math ও টেমপ্লেট:Math এর দৈর্ঘ্য উভয়েরই টেমপ্লেট:Math হয় ও তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য টেমপ্লেট:Math হয়, টেমপ্লেট:Math, টেমপ্লেট:Math, ও টেমপ্লেট:Math এর বিপরীত কোণ তিনটি টেমপ্লেট:Math, টেমপ্লেট:Math, ও টেমপ্লেট:Math হয় তবে $$\begin{array}{cc}& \alpha =\beta =\frac{180^{\circ }-\gamma }{2}=90^{\circ }-\frac{\gamma }{2}\\ & \sin \alpha =\sin \beta =\sin (90^{\circ }-\frac{\gamma }{2})=\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)\\ & \frac{c}{\sin \gamma }=\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{x}{\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)}\\ & \frac{c\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)}{\sin \gamma }=x\end{array}$$

পরিবৃত্তের সাথে সম্পর্ক

সূত্রানুসারে, বাহু ও তাদের বিপরীত কোণের সাইনের অনুপাত সর্বদা পরিব্যাসার্ধের দ্বিগুণের সমান।

প্রমাণ

ত্রিভুজ টেমপ্লেট:Math বৃত্তের কেন্দ্রগামী। টেমপ্লেট:Math হল বৃত্তটির ব্যাস

$\mathrm{\angle }AOD=$ $180^{\circ }$ সুতরাং, $\mathrm{\angle }ABD=90^{\circ }$ (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সর্বদা সমকোণ হয়)।

$$\sin \delta =\frac{c}{2R},$$ যেখানে $R=\frac{d}{2}$

$\gamma =\delta$ (যেহেতু সমবৃত্তাংশস্থ কোণ সর্বদা সমান হয়)। সুতরাং, $$\sin \delta =\sin \gamma =\frac{c}{2R}$$

অনুরূপে প্রমাণ করা যায়, টেমপ্লেট:Equation box 1

আরও দেখুন

• কোসাইনের সূত্র

বহিঃসংযোগ

• টেমপ্লেট:Springer
• The Law of Sines at cut-the-knot
• Degree of Curvature
• Finding the Sine of 1 Degree
• Generalized law of sines to higher dimensions