সীমার তালিকা

সীমা সর্বজনীন সম্পত্তি

সীমা (টেমপ্লেট:Lang-en) সম্বন্ধীয় কয়েকটি উপপাদ্য ও সাধারণত প্রচলিত কয়েকটি সীমা। এখানে a ও b হ'ল ধ্রুবক ও x হ'ল চলরাশি

কয়েকটি উপপাদ্য

যদি $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L_1$ ও $\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L_2$ হয়, তবে

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L_1\pm L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)g(x)]=L_1\times L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}$ যখন $L_2\ne 0$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^n=L_1^n$ যখন n একটি ধনাত্মক সংখ্যা।

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{\frac{1}{n}}=L_1^{\frac{1}{n}}$ যখন n একটি ধনাত্মক সংখ্যা ও যদি n যুগ্ম সংখ্যা, $L_1>0$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ যখন $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$ বা $\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=+\mathrm{\infty }$ (L'Hôpital's rule)

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime }(x)$

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x(1+h))}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

কয়েকটি বিশেষ সীমা

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{k}{x})}^{mx}=e^{mk}$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x=\frac{1}{e}$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{k}{x})}^x=e^k$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^n\underset{n}{\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...}+\sqrt{2}}}}}}=\pi$

কয়েকটি সরল ফলাফলের সীমা

$\underset{x\to c}{\lim }a=a$

$\underset{x\to c}{\lim }x=c$

$\underset{x\to c}{\lim }ax+b=ac+b$

$\underset{x\to c}{\lim }{x}^r=c^r$ যখন r একটি ধনাত্মক সংখ্যা

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^r}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^r}=\{\begin{array}{cc}-\mathrm{\infty },& \text{if }r\text{ is odd}\\ +\mathrm{\infty },& \text{if }r\text{ is even}\end{array}$

ঘাতাংকীয় ও সূচকীয় ফলাফলের সীমা

যদি $a>1$ হয়, তবে

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0$

যদি $a<1$ হয়, তবে

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\mathrm{\infty }$

ত্রিকোণমিতীয় ফলাফলের সীমা

$\underset{x\to a}{\lim }\sin x=\sin a$

$\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\to n^{\pm }}{\lim }\tan (\pi x+\frac{\pi }{2})=\mp \mathrm{\infty }$ যেকোনো অখণ্ড সংখ্যা n র জন্য।

অসীমের দিকে

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }N/x=0$ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা N র জন্য।

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x/N=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>0\\ \text{does not exist},& N=0\\ -\mathrm{\infty },& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^N=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>0\\ 1,& N=0\\ 0,& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^x=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>1\\ 1,& N=1\\ 0,& 0<N<1\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^{-x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }1/N^x=0$ যিকোনো $N>1$ র কারণে।

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{N}=\{\begin{array}{cc}1,& N>0\\ 0,& N=0\\ \text{does not exist},& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[N]{x}=\mathrm{\infty }$ যেকোনো $N>0$ র কারণে।

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$