স্টোকসের সূত্র

১৮৫১ সালে জর্জ গ্যাব্রিয়েল স্টোকস একটি রাশি প্রতিপাদন করেন যেটি বর্তমানে স্টোকসের সূত্র নামে পরিচিত। এটি সাধারণত ঘর্ষণ বলের জন্য উদ্ভূত হয়ে থাকে যেটি সান্দ্রতাজনিত বাধাদানকারী বল নামেও পরিচিত এবং যা সান্দ্র তরলে ক্ষুদ্র রেনল্ড সংখ্যা বিশিষ্ট গোলকাকার বস্তুসমূহে প্রযুক্ত হয় । স্টোকসের সূত্র ক্ষুদ্র রেনল্ড সংখ্যায় সীমাবদ্ধ নেভিয়ার স্টোকস সমীকরণের ছোট রেইনল্ডসের সংখ্যার জন্য স্টোকস প্রবাহ সীমাটি সমাধান করে উদ্ভূত হয়।

সূত্রের বিবৃতি

একটি সান্দ্র তরলের মধ্য দিয়ে গমন করে এমন একটি ক্ষুদ্র গোলকে প্রযুক্ত সান্দ্রতা বল:

$F_d=6\pi \mu Rv$

যেখানে:

• F _d হল ঘর্ষণ বল - যা স্টোকসের টান নামে পরিচিত - তরল এবং কণার মধ্যে সাধারণ ক্ষেত্রে ক্রিয়াশীল থাকে
• μ গতিশীল সান্দ্রতা (কিছু লেখক প্রতীক η ব্যবহার করে থাকেন)
• R হল গোলাকার বস্তুর ব্যাসার্ধ
• v হল বস্তুর সাথে প্রবাহিত গতিবেগ।

এসআই ইউনিটে, F_d নিউটনে (= kg m s⁻² ), Pa μ (= kg m⁻¹ s⁻¹ ),R মিটারে, v m/s এ দেয়া থাকে।

স্টোকসের সূত্র হতে তরলের কোনও কণার আচরণের জন্য নিম্নলিখিত অনুমানসমূহ করা যায়:

• স্তরপূর্ণ প্রবাহ
• গোলকাকার কণা
• সমজাতীয় (পুর গঠনে অভিন্ন) উপাদান
• মসৃণ পৃষ্ঠতল
• কণাসমূহ যা একে অপরকে বাধা প্রদান করে না।

অণুসমূহের জন্য স্টোকসের সূত্রটি তাদের স্টোকস ব্যাসার্ধ নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়।

গতীয় সান্দ্রতার সিজিএস একক স্টোকসের কাজের পরপরই "স্টোকস" নামকরণ করা হয়েছিল।

প্রয়োগ

স্টোকসের সূত্র হল পতিত-গোলক ভিস্কোমিটার এর ভিত্তি, যার মধ্যে একটি উল্লম্ব কাচের নলের মধ্যে তরল স্থির থাকে। জানা আকার এবং ঘনত্বের একটি গোলককে তরলটির মধ্য দিয়ে নামতে দেওয়া হয়। যদি সঠিকভাবে গোলক নির্বাচন করা হয় তবে এটি তরলের মধ্যে দিয়ে পড়তে পড়তে প্রান্তবেগে পৌঁছে যায়, যা টিউবটিতে দুটি চিহ্ন অতিক্রম করার সময় দ্বারা পরিমাপ করা যায়। অস্বচ্ছ তরলের জন্য বৈদ্যুতিক সংবেদকও ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রান্তিক বেগ, গোলকের আকার, ঘনত্ব এবং তরলের ঘনত্ব সম্পর্কে জানলে স্টোকসের সুত্র তরলের সান্দ্রতা নির্ণয় করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। বিভিন্ন ব্যাসের ইস্পাতের বল বিয়ারিংয়ের একটি সারি সাধারণত সনাতনী পরীক্ষায় গণনায় ত্রুটি হ্রাস করতে ব্যবহৃত হয়। স্কুল-কলেজের ব্যবহারিক পরীক্ষণসমূহে তরল হিসাবে গ্লিসারিন বা সোনালী সিরাপ ব্যবহার করা হয় এবং ব্যবহৃত তরলের সান্দ্রতা পরীক্ষা করতে এই প্রযুক্তি ব্যবহার করা হয় । বেশ কয়েকটি স্কুলের পরীক্ষা-নিরীক্ষায় প্রায়শই সান্দ্রতাতে এর প্রভাবসমূহ প্রদর্শন করতে ব্যবহৃত তাপমাত্রা এবং/বা তাপমাত্রার ঘনত্বের বিভিন্নতা জড়িত থাকে। শিল্প পদ্ধতিতে দ্রবণে হিসেবে অনেকগুলো ভিন্ন ভিন্ন তেল এবং পলিমার তরল অন্তর্ভুক্ত থাকে।

স্টোকসের সূত্রের গুরুত্ব এই বিষয়টি দ্বারা প্রকাশ পায় যে এর গবেষণা কমপক্ষে তিনটি নোবেল পুরস্কার প্রাপ্তির পেছনে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছিল।

অণুজীব এবং শুক্রাণুর সাঁতার অনুধাবন করার জন্য স্টোকসের সূত্র বেশ গুরুত্বপূর্ণ। এছাড়াও, থিতানো ছোট কণা এবং পানিতে প্রাণীর, মাধ্যাকর্ষণ বল ইত্যাদি ভালোভাবে অনুধাবনেও স্টোকসের সূত্রের বেশ গুরুত্ব রয়েছে।

বাতাসের ক্ষেত্রে ব্যাখ্যা করতেও অনুরূপ তত্ত্বই ব্যবহার করা যেতে পারে । ক্ষুদ্র জলের ফোঁটা (বা বরফের স্ফটিকসমূহ) বাতাসে (মেঘ হিসাবে) স্থির থাকতে পারে যতক্ষণ না তারা একটি গুরুত্বপূর্ণ আকারে বৃদ্ধি পায় এবং বৃষ্টিপাত (বা তুষার এবং শিলাবৃষ্টি) হিসাবে পড়তে শুরু করে না। অনুরূপভাবে জল কিংবা অন্যান্য তরলসমূহে সূক্ষ্ম কণাগুলোর স্থিরীকরণে সমীকরণটি ব্যবহার করা যেতে পারে।টেমপ্লেট:তথ্যসূত্র প্রয়োজন

তরলে পতনশীল গোলকের সমাপ্ত বেগ

তরলে একটি পতনশীল গোলক প্রবাহ প্রলম্বন (যেমন, বায়ুর মধ্য দিয়ে পতিত হওয়ার সময় একটি কুয়াশার ফোঁটা): প্রবাহরেখা , মাধ্যাকর্ষণ বল F_g টান বল F_d ।

গতিবেগের (বা নিষ্পত্তি) গতিবেগে, গোলকের ওজন এবং উচ্ছ্বাসের মধ্যকার পার্থক্যের কারণে অতিরিক্ত বল F _g (উভয়ই মাধ্যাকর্ষণ দ্বারা ) প্রদান করে:

$F_g=({\rho }_p-{\rho }_f)g\frac{4}{3}\pi R^3,$

ρ_p এবং ρ _f দিয়ে যথাক্রমে গোলক এবং তরলের ভর ঘনত্ব এবং g দ্বারা অভিকর্ষজ ত্বরণ বোঝানো হয় । এক্ষেত্রে F_d = F_g বল ভারসাম্যের প্রয়োজন পড়ে। বেগ v এর সমাধান করলে শেষ বেগ দাঁড়ায় v_s । লক্ষণীয় যে অতিরিক্ত বল যেহেতু অতিরিক্ত বল R³ হিসেবে বৃদ্ধি পায় আর স্টোকস এর টান R হিসেবে বৃদ্ধি পায়। তাই শেষবেগ R² আকারে বৃদ্ধি পায় এবং এভাবে নীচের মতো কণার আকারের সাথে ব্যাপকভাবে পরিবর্তিত হয়। যদি কোন কণা সান্দ্র তরলটিতে পড়ার সময় কেবল তার নিজের ওজন অনুভব করে, তবে তরলের কারণে কণায় যখন ঘর্ষণ বল এবং প্লবতার যোগফল ঘটে। আর তখনই মহাকর্ষ শক্তিটিকে ভারসাম্য বজায় রাখার সময় একটি শেষ বেগ প্রাপ্ত হয়। এই বেগকে v (m/s) দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

$v=\frac{2}{9}\frac{({\rho }_p-{\rho }_f)}{\mu }g{R}^2$

(উল্লম্বভাবে নীচের দিকে যদি ρ_p > ρ_f, উপরের দিকে যদি ρ_p < ρ_f ), কোথায়:

• g মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র শক্তি (m/s²)
• R হল গোলাকার কণার ব্যাসার্ধ (m)
• ρ_p হল কণার ভর ঘনত্ব (kg/m³)
• ρ _f হল তরলের ভর ঘনত্ব (kg/m³)
• μ হল গতিশীল সান্দ্রতা (kg/(m*s))।

প্রতিপাদন

স্থির স্টোকস প্রবাহ

স্টোকস প্রবাহে, খুব কম রেইনোল্ডস সংখ্যায়, নেভিয়ার – স্টোকস সমীকরণসমূহে প্রচলিত ত্বরণের শর্তাবলী উপেক্ষিত হয়ে থাকে। তারপর প্রবাহ সমীকরণসমূহ একটি সংকোচনের অসংনম্য় স্থির প্রবাহে পরিণত হয় :

$\begin{array}{cc}& \mathrm{\nabla }p=\mu {\mathrm{\nabla }}^2𝐮=-\mu \mathrm{\nabla }\times \mathit{\omega },\\ & \mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0,\end{array}$

যেখানে:

• p হল তরল চাপ ( প্যাসকেলে(Pa) ),
• u হল প্রবাহের গতিবেগ (মি / সেকেন্ডে), এবং
• ω হল vorticity ( সেকেন্ড ^-1), যেটি সংজ্ঞায়িত করা হয় $\mathit{\omega }=\mathrm{\nabla }\times 𝐮$ দ্বারা।

কিছু ভেক্টর ক্যালকুলাস অভেদ ব্যবহার করে, এই সমীকরণসমূহের চাপের জন্য এবং আবর্ত ভেক্টরের প্রতিটি উপাদানের জন্য ল্যাপ্লেসের সমীকরণের ফলস্বরূপ দেখানো যেতে পারে:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathit{\omega }=0$ এবং ${\mathrm{\nabla }}^{2}p=0.$

মহাকর্ষ এবং উচ্ছ্বাসের মতো অতিরিক্ত বলগুলো বিবেচনায় নেওয়া হয়নি তবে উপরের সমীকরণসমূহ রৈখিক হওয়ায় এদের সহজেই সংযুক্ত করা যেতে পারে, সুতরাং সমাধান এবং সম্পর্কিত শক্তির রৈখিক উপরিপাতন প্রয়োগ করা যেতে পারে।

একটি গোলকের চতুর্দিকে অনুপ্রস্থ প্রবাহ

এক সমতুল্য দূরবর্তী ক্ষেত্র প্রবাহের গোলকের ক্ষেত্রে, একটি সিলিন্ডার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ( r , φ , z ) ব্যবহার করা সুবিধাজনক হয়ে থাকে। Z অক্ষটি গোলকের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে হয় এবং গড় প্রবাহের দিকের সাথে বিন্যস্ত হয়। যেখানে r হল z অক্ষের এর উল্লম্ব পরিমণ্ডল হিসাবে পরিমাপকৃত ব্যাসার্ধ । মূলবিন্দুটি গোলকের কেন্দ্রে থাকে। যেহেতু প্রবাহ z - অক্ষ বরাবর প্রতিসম হয়ে থাকে তাই এটা স্বাধীন দিগংশ φ এর ওপর নির্ভরশীল থাকেনা।

এই সিলিন্ডার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, সঙ্কলিত প্রবাহকে স্টোকস স্ট্রিম ফাংশন দিয়ে বর্ণনা করা যেতে পারে যা ψ, r এবং z এর উপর নির্ভর করে:

$u_z=\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial r},u_r=-\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial z},$

u_r এবং u_z দ্বারা যথাক্রমে r এবং z এর দিকের প্রবাহের গতিবেগের উপাদানসমূহ নির্দেশ করা হয়। Φ এর দিকে মধ্যে দিগ্বলয়ী বেগ উপাদান এই প্রতিসম অক্ষের ক্ষেত্রে শূন্যের সমান হয়। একটি উপরিতল দ্বারা আবদ্ধ একটি নলের মাধ্যমে অতিক্রান্ত কিছু ধ্রুব মানের ψ আয়তন তীব্রতা 2πψ এর সমান এবং এটি একটি ধ্রুবক।

একটি প্রতিসম অক্ষের প্রবাহ এই ক্ষেত্রে, একমাত্র অশূন্য ঘূর্ণন ভেক্টর ω এর উপাদান হল দিগ্বলয়ী φ -উপাংশ যা ω _φ দ্বারা সূচিত।

${\omega }_{\phi }=\frac{\partial u_r}{\partial z}-\frac{\partial u_z}{\partial r}=-\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial r}\right)-\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}.$

ঘূর্ণন ω_φ এ প্রযুক্ত লাপ্ল্যাস অপারেটর প্রতিসম অক্ষের সঙ্গে এই সিলিন্ডার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় মধ্যে যেভাবে সঙ্ঘটিত হয়ে থাকে:

${\mathrm{\nabla }}^2{\omega }_{\phi }=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial {\omega }_{\phi }}{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^2{\omega }_{\phi }}{\partial z^2}-\frac{{\omega }_{\phi }}{r^2}=0.$

আগের দুই সমীকরণ থেকে, এবং উপযুক্ত সীমানা শর্তসাপেক্ষে, Z - অক্ষের দিকে একটি দূরবর্তী ক্ষেত্রে সুষম প্রবাহ বেগ u এবং R ব্যাসার্ধের একটি গোলকের জন্য নিম্নোক্ত সমাধান পাওয়া যায়

$\psi (r,z)=-\frac{1}{2}u{r}^2[1-\frac{3}{2}\frac{R}{\sqrt{r^2+z^2}}+\frac{1}{2}{\left(\frac{R}{\sqrt{r^2+z^2}}\right)}^3].$

সিলিন্ডার স্থানাঙ্ক এবং উপাদানসমূহে বেগের দ্রবণটি নিম্নরূপ:

$u_r(r,z)=\frac{3R^3}{4}\cdot \frac{rzu}{{\sqrt{r^2+z^2}}^5}-\frac{3R}{4}\cdot \frac{rzu}{{\sqrt{r^2+z^2}}^3}$

$u_z(r,z)=\frac{3R^3}{4}\cdot (\frac{3u{z}^2}{{\sqrt{r^2+z^2}}^5}-\frac{u}{\sqrt{r^2+z^2}})+u-\frac{3R}{4}\cdot (\frac{u}{\sqrt{r^2+z^2}}+\frac{u{z}^2}{{\sqrt{r^2+z^2}}^3})$

সিলিন্ডার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় আবর্ত সমাধান নীচে নিম্নরূপ:

${\omega }_{\phi }(r,z)=-\frac{3Ru}{2}\cdot \frac{r}{{\sqrt{r^2+z^2}}^3}$

সিলিন্ডার স্থানাঙ্কসমূহে চাপের সমাধান নিম্নরূপ:

$p(r,z)=-\frac{3\mu Ru}{2}\cdot \frac{z}{{\sqrt{r^2+z^2}}^3}$

গোলাকার স্থানাঙ্কে চাপের সমাধান নিম্নরূপ:

$p(r,\theta )=-\frac{3\mu Ru}{2}\cdot \frac{\cos \theta }{r^2}$

স্থিরবিদ্যুতের পরিভাষায় চাপের সূত্রটিকে দ্বিপোল বিভব বলা হয়।

দৈবচয়নে দূর-ক্ষেত্রের বেগ-ভেক্টর ${𝐮}_{\mathrm{\infty }}$ সহ আরও একটি সাধারণ সূত্র, কার্তেসিয়ান স্থানাঙ্কে $𝐱=(x,y,z{)}^T$ অনুসরণ করে:

স্টোকস-প্রবাহ-ক্ষেত্র বেগের পরামিতিসমূহের সাথে গোলকের চারদিকে ${𝐮}_{\mathrm{\infty }}={\left(\begin{array}{ccc}6& 0& 6\end{array}\right)}^T\text{m/s}$ গোলকের ব্যাসার্ধ $R=1\text{m}$, জলের সান্দ্রতা (টি = 20 ডিগ্রি সেন্টিগ্রেড)$\mu =1\text{mPa}\cdot \text{s}$ । এখানে বেগ-ক্ষেত্রের ক্ষেত্র রেখা এবং মেকি রঙ দ্বারা বেগ, চাপ এবং ঘনত্বের প্রশস্ততা দেখানো হয়েছে।

$𝐮(𝐱)=\underset{\text{Terms of Boundary-Condition}}{\underbrace{\underset{\text{conservative: curl=0, div=0}}{\underbrace{\frac{R^3}{4}\cdot (\frac{3({𝐮}_{\mathrm{\infty }}\cdot 𝐱)\cdot 𝐱}{\Vert 𝐱{\Vert }^5}-\frac{{𝐮}_{\mathrm{\infty }}}{\Vert 𝐱{\Vert }^3})}}+\underset{\text{far-field}}{\underbrace{{𝐮}_{\mathrm{\infty }}}}}}\underset{\text{non-conservative: curl}=\mathit{\omega }(𝐱),\text{ div=0}}{\underbrace{-\frac{3R}{4}\cdot (\frac{{𝐮}_{\mathrm{\infty }}}{\Vert 𝐱\Vert }+\frac{({𝐮}_{\mathrm{\infty }}\cdot 𝐱)\cdot 𝐱}{\Vert 𝐱{\Vert }^3})}}$

$\mathit{\omega }(𝐱)=-\frac{3R}{2}\cdot \frac{{𝐮}_{\mathrm{\infty }}\times 𝐱}{\Vert 𝐱{\Vert }^3}$

$p\left(𝐱\right)=-\frac{3\mu R}{2}\cdot \frac{{𝐮}_{\mathrm{\infty }}\cdot 𝐱}{\Vert 𝐱{\Vert }^3}$

এই সুত্র গঠনে অ-সংরক্ষণশীল শব্দটি এক ধরনের তথাকথিত স্টোকসলেটকে উপস্থাপন করে । স্টোকসলেট হ'ল স্টোকস-প্রবাহ-সমীকরণের একটি গ্রিন এর ফাংশন । সংরক্ষণশীল শব্দটি দ্বিপদী-গ্রেডিয়েন্ট-ক্ষেত্রের সমান। আবর্তের সূত্রটি এক প্রকারের বিও-সাভার্ত সূত্র, যা তড়িৎচৌম্বকত্বেও ব্যবহৃত হয়।

নিম্নলিখিত সূত্র স্টোকস-প্রবাহের বিশেষ ক্ষেত্রে সান্দ্র-চাপ-টেনসরকে বর্ণনা করে। কণার উপর কর্মরত শক্তি গণনা করার ক্ষেত্রে এটি প্রয়োজন। কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে ভেক্টর-গ্রেডিয়েন্ট স্থানাঙ্ক $\mathrm{\nabla }𝐮$ জ্যাকোবিয়ান-ম্যাট্রিক্সের মতোই। ম্যাট্রিক্স $𝐈$ একক-ম্যাট্রিক্সকে উপস্থাপন করে।

$\mathit{\sigma }=-p\cdot 𝐈+\mu \cdot ((\mathrm{\nabla }𝐮)+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)$

গোলকটিতে কার্যকরী শক্তিটি তল সমাকলন দ্বারা গণনা করা হয়, যেখানে ${𝐞}_{𝐫}$ দ্বারা গোলাকার-স্থানাঙ্কসমূহের ব্যাসার্ধের একক ভেক্টর উপস্থাপন করা হয়:

$𝐅=\underset{\partial V}{\iint }\subset \supset \mathit{\sigma }\cdot \text{d}𝐒=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathit{\sigma }\cdot {𝐞}_{𝐫}\cdot R^2\sin \theta \text{d}\phi \text{d}\theta =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{3\mu \cdot {𝐮}_{\mathrm{\infty }}}{2R}\cdot R^2\sin \theta \text{d}\phi \text{d}\theta =6\pi \mu R\cdot {𝐮}_{\mathrm{\infty }}$

গোলকের চারদিকে স্টোকস-প্রবাহ:${\mathit{\omega }}_R={\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 2\end{array}\right)}^T\text{Hz}$ ,$\mu =1\text{mPa}\cdot \text{s}$ ,$R=1\text{m}$

গোলকের চারদিকে ঘূর্ণায়মান প্রবাহ

$𝐮(𝐱)=-R^3\cdot \frac{{\mathit{\omega }}_R\times 𝐱}{\Vert 𝐱{\Vert }^3}$

$\mathit{\omega }(𝐱)=\frac{R^3\cdot {\mathit{\omega }}_R}{\Vert 𝐱{\Vert }^3}-\frac{3R^3\cdot ({\mathit{\omega }}_R\cdot 𝐱)\cdot 𝐱}{\Vert 𝐱{\Vert }^5}$

$p(𝐱)=0$

$\mathit{\sigma }=-p\cdot 𝐈+\mu \cdot ((\mathrm{\nabla }𝐮)+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)$

$𝐓=\underset{\partial V}{\iint }\subset \supset 𝐱\times (\mathit{\sigma }\cdot \text{d}𝑺)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(R\cdot {𝐞}_{𝐫})\times (\mathit{\sigma }\cdot {𝐞}_{𝐫}\cdot R^2\sin \theta \text{d}\phi \text{d}\theta )=8\pi \mu R^3\cdot {\mathit{\omega }}_R$

অন্যান্য ধরনের স্টোকস প্রবাহ

যদিও তরল স্থিতিশীল এবং গোলকটি একটি নির্দিষ্ট বেগ নিয়ে চলতে থাকে তবে গোলকের কাঠামোর সাপেক্ষে গোলকটি স্থির থাকে এবং তরলটি গোলকের গতির ঠিক বিপরীতে প্রবাহিত হয়।

আরও দেখুন

• আইনস্টাইন সম্পর্ক (গতিবিজ্ঞান তত্ত্ব)
• মানুষের নামে বৈজ্ঞানিক সুত্রসমুহ
• টান সমীকরণ
• দর্শনার্থী
• সমান গোলক ব্যাস
• বিস্তৃতি (ভূতত্ত্ব)

তথ্যসূত্র

• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.