০.৯৯৯...

০.৯৯৯... একটি পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যা যা একটি বাস্তব সংখ্যাকে নির্দেশ করে। একে অন্যভাবেও লিখা যায়:$0.\overline{9},0.\dot{9}$ অথবা$0.(9)$। নির্দিষ্টভাবে এই সংখ্যাটিকে ১-এর সমান ধরা হয়। অর্থাৎ ০.৯৯৯... সংখ্যাটি সংখ্যাগত দিক থেকে ১-কেই নির্দেশ করে। এই বিষয়কে কেন্দ্র করে গণিতের বিভিন্ন শাখায় অনেকগুলো প্রামাণিক উপপাদ্যের সৃষ্টি হয়েছে।

প্রমাণ

বীজগাণিতিক

ধরা যাক x= 0.999..... তাহলে, 10x = 9.999.....

অতএব, (10x - x)= (9.999.... - 0.999....) বা, 9x = 9 অতঃপর নিশ্চিতভাবেই x = 1.

অর্থাৎ, 0.999... মানে প্রায় 1 নয়! একেবারে কাটায় কাটায় 1.

ভগ্নাংশ এবং দীর্ঘ বিভাজন

অসীম দশমিক যে সসীম দশমিকেরই একটিপরিবর্ধিত রূপ তার কারণ হল ভগ্নাংশে প্রকাশ। দীর্ঘ বিভাজন ব্যবহার করে টেমপ্লেট:Frac এর মতো অতি সরল পূর্ণ সাংখ্যিক বিভজনকেও পুনরাবৃত্তিক ভগ্নাংশে পরিণত করা যায়, যাতে অঙ্কগুলো অসীম পর্যন্ত পুনরাবৃত্ত হয়। এই দশমিক ০.৯৯৯%=১ এর একটি দ্রুততর প্রমাণ প্রদান করে। ৩ কে ৩ দিয়ে গুণ করলে প্রতিটি অঙ্ক ৯ হয়, তাই ৩ x ০.৩৩৩% সমান ০.৯৯৯%। আবার ৩ × টেমপ্লেট:Frac সমান ১, তাই ০.৯৯৯… = ১। এ প্রমাণের আরেকটি রূপে ভগ্নাংশ টেমপ্লেট:Frac = ০.১১১… কে ৯ দ্বারা গুণ করা হয়।

$\begin{array}{cc}0.333\dots & =\frac{1}{3}\\ 3\times 0.333\dots & =3\times \frac{1}{3}=\frac{3\times 1}{3}\\ 0.999\dots & =1\end{array}$

$\begin{array}{cc}0.111\dots & =\frac{1}{9}\\ 9\times 0.111\dots & =9\times \frac{1}{9}=\frac{9\times 1}{9}\\ 0.999\dots & =1\end{array}$

বহিঃসংযোগ

• .999999... = 1? from cut-the-knot
• Why does 0.9999… = 1 ?
• Ask A Scientist: Repeating Decimals