৯-জে প্রতীক

পদার্থবিজ্ঞানে, ইউজিন পল উইগনার ১৯৩৭ সালে উইগনারের ৯-জে প্রতীকগুলির প্রবর্তন করেন। এগুলি কোয়ান্টাম মেকানিক্সের চারটি কৌণিক মোমেন্টাম জড়িত পুনঃসংযোগ সহগ-এর সাথে সম্পর্কিত:

$\sqrt{(2 j_{3} + 1) (2 j_{6} + 1) (2 j_{7} + 1) (2 j_{8} + 1)} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}}$ $= ⟨ ((j_{1} j_{2}) j_{3}, (j_{4} j_{5}) j_{6}) j_{9} | ((j_{1} j_{4}) j_{7}, (j_{2} j_{5}) j_{8}) j_{9} ⟩ .$

চার কৌণিক ভরবেগের পুনঃসংযোগ

দুটি কৌণিক ভরবেগ $𝐣_{1}$ এবং $𝐣_{2}$ এর যুগ্মন হলো $𝐉^{2}$ এবং $J_{z}$ এর একযোগে আইগেনফাংশন গঠন, যেখানে $𝐉 = 𝐣_{1} + 𝐣_{2}$ , যেমন ক্লেবশ-গর্ডান সহগ নিবন্ধে ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

তিনটি কৌণিক ভরবেগের যুগ্মন বিভিন্ন উপায়ে করা যেতে পারে, যেমন রাকাহ ডব্লিউ-গুণাঙ্ক নিবন্ধে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। সেই নিবন্ধের প্রতীক এবং কৌশল ব্যবহার করে, $𝐣_{1}$ , $𝐣_{2}$ , $𝐣_{4}$ , এবং $𝐣_{5}$ কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর থেকে উদ্ভূত মোট কৌণিক ভরবেগের অবস্থাগুলিকে এভাবে লেখা যেতে পারে:

| ((j_{1} j_{2}) j_{3}, (j_{4} j_{5}) j_{6}) j_{9} m_{9} ⟩ .

বিকল্পভাবে, কেউ প্রথমে $𝐣_{1}$ এবং $𝐣_{4}$ কে $𝐣_{7}$ এর সাথে এবং $𝐣_{2}$ এবং $𝐣_{5}$ কে $𝐣_{8}$ এর সাথে যুক্ত করতে পারে, $𝐣_{7}$ এবং $𝐣_{8}$ কে $𝐣_{9}$ এর সাথে যুক্ত করার আগে:

| ((j_{1} j_{4}) j_{7}, (j_{2} j_{5}) j_{8}) j_{9} m_{9} ⟩ .

উভয় ফাংশনের সেটই $(2 j_{1} + 1) (2 j_{2} + 1) (2 j_{4} + 1) (2 j_{5} + 1)$ মাত্রা বিশিষ্ট স্থানটির জন্য একটি সম্পূর্ণ, অর্থোনরমাল ভিত্তি প্রদান করে।

| j_{1} m_{1} ⟩ | j_{2} m_{2} ⟩ | j_{4} m_{4} ⟩ | j_{5} m_{5} ⟩, m_{1} = - j_{1}, \dots, j_{1}; m_{2} = - j_{2}, \dots, j_{2}; m_{4} = - j_{4}, \dots, j_{4}; m_{5} = - j_{5}, \dots, j_{5} .

অতএব, দুটি সেটের মধ্যেকার রূপান্তরটি ঐক্যিক এবং রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি ফাংশনগুলির স্কেলার গুণফল দ্বারা নির্ধারিত হয়। রাকাহ ডব্লিউ-গুণাঙ্কের ক্ষেত্রে যেমন, এই ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি মোট কৌণিক ভরবেগ অভিক্ষেপ কোয়ান্টাম সংখ্যার উপর নির্ভরশীল নয়। ( $m_{9}$ ):

| ((j_{1} j_{4}) j_{7}, (j_{2} j_{5}) j_{8}) j_{9} m_{9} ⟩ = \sum_{j_{3}} \sum_{j_{6}} | ((j_{1} j_{2}) j_{3}, (j_{4} j_{5}) j_{6}) j_{9} m_{9} ⟩ ⟨ ((j_{1} j_{2}) j_{3}, (j_{4} j_{5}) j_{6}) j_{9} | ((j_{1} j_{4}) j_{7}, (j_{2} j_{5}) j_{8}) j_{9} ⟩ .

প্রতিসাম্য সম্পর্ক

একটি ৯-জে প্রতীক উভয় তির্যক সম্পর্কে প্রতিবিম্বের অধীনে এবং এর সারি বা স্তম্ভের জোড় বিন্যাসের অধীনে অপরিবর্তিত থাকে:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{4} & j_{7} \\ j_{2} & j_{5} & j_{8} \\ j_{3} & j_{6} & j_{9} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{9} & j_{6} & j_{3} \\ j_{8} & j_{5} & j_{2} \\ j_{7} & j_{4} & j_{1} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{7} & j_{4} & j_{1} \\ j_{9} & j_{6} & j_{3} \\ j_{8} & j_{5} & j_{2} \end{matrix}} .

সারি বা স্তম্ভের বিজোড় বিন্যাসের ফলে $(- 1)^{S}$ , ফেজ ফ্যাক্টর পাওয়া যায়, যেখানে $S = \sum_{i = 1}^{9} j_{i}$

উদাহরণস্বরূপ:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = (- 1)^{S} {\begin{matrix} j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = (- 1)^{S} {\begin{matrix} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ j_{5} & j_{4} & j_{6} \\ j_{8} & j_{7} & j_{9} \end{matrix}} .

৬জে প্রতীকে রূপান্তর

৯-জে প্রতীকগুলিকে ৬-জে প্রতীকের ত্রৈধ গুণফলের উপর যোগফল হিসাবে গণনা করা যেতে পারে, যেখানে যোগফলটি গুণনীয়কগুলিতে ত্রিভুজ শর্ত দ্বারা স্বীকৃত সমস্ত টেমপ্লেট:Math এর উপর বিস্তৃত:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = \sum_{x} (- 1)^{2 x} (2 x + 1) {\begin{matrix} j_{1} & j_{4} & j_{7} \\ j_{8} & j_{9} & x \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{2} & j_{5} & j_{8} \\ j_{4} & x & j_{6} \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{3} & j_{6} & j_{9} \\ x & j_{1} & j_{2} \end{matrix}}

.

বিশেষ ক্ষেত্র

যখন $j_{9} = 0$ হয়, তখন ৯-জে প্রতীকটি একটি ৬-জে প্রতীক-এর সমানুপাতিক হয়:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & 0 \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{3}, j_{6}} δ_{j_{7}, j_{8}}}{\sqrt{(2 j_{3} + 1) (2 j_{7} + 1)}} (- 1)^{j_{2} + j_{3} + j_{4} + j_{7}} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{5} & j_{4} & j_{7} \end{matrix}} .

অর্থোগোনাল সম্পর্ক

৯-জে প্রতীকগুলি এই অর্থোগোনাল সম্পর্কটি পূরণ করে:

\sum_{j_{7} j_{8}} (2 j_{7} + 1) (2 j_{8} + 1) {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & {j_{3}}^{'} \\ j_{4} & j_{5} & {j_{6}}^{'} \\ j_{7} & j_{8} & j_{9} \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{3} {j_{3}}^{'}} δ_{j_{6} {j_{6}}^{'}} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{3} & j_{6} & j_{9} \end{matrix}}}{(2 j_{3} + 1) (2 j_{6} + 1)} .

ত্রিভুজাকার ডেল্টা টেমপ্লেট:Math} ১ হয় যখন ত্রয়ী (j₁, j₂, j₃) ত্রিভুজ শর্ত পূরণ করে, অন্যথায় শূন্য হয়

3n-j প্রতীক

৬-জে প্রতীক হল টেমপ্লেট:Math, টেমপ্লেট:Math-j প্রতীকের প্রথম প্রতিনিধি, যা উইগনারের 3-jm সহগের টেমপ্লেট:Math গুণফলের যোগফল হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যোগফলগুলি টেমপ্লেট:Math এর সমস্ত সংমিশ্রণের উপরে বিস্তৃত যা টেমপ্লেট:Math-j সহগ স্বীকার করে, অর্থাৎ, যা অ-শূন্য অবদান রাখে।

যদি প্রতিটি 3-jm গুণনীয়ককে একটি শীর্ষবিন্দু দ্বারা এবং প্রতিটি জে কে একটি প্রান্ত দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তাহলে এই টেমপ্লেট:Math-j প্রতীকগুলিকে নির্দিষ্ট 3-নিয়মিত গ্রাফ-এ টেমপ্লেট:Math প্রান্ত এবং টেমপ্লেট:Math নোড সহ ম্যাপ করা যেতে পারে। 6-j প্রতীকটি ৪টি শীর্ষবিন্দুতে K₄ গ্রাফের সাথে, 9-j প্রতীকটি ৬টি শীর্ষবিন্দুতে ইউটিলিটি গ্রাফ (K_3,3) এবং 8টি শীর্ষবিন্দুতে Q₃ এবং ওয়াগনার গ্রাফ সহ দুটি স্বতন্ত্র (অ-সমরূপী) 12-j চিহ্নের সাথে যুক্ত। প্রতিসাম্য সম্পর্কগুলি সাধারণত এই গ্রাফগুলির অটোমরফিজম গ্রুপের বৈশিষ্ট্য দ্বারা নির্ধারিত হয়।

আরও দেখুন

তথ্যসূত্র

বহিঃসংযোগ

টেমপ্লেট:ওয়েব উদ্ধৃতি (Gives answer in exact fractions)
টেমপ্লেট:ওয়েব উদ্ধৃতি (Answer as floating point numbers)
টেমপ্লেট:ওয়েব উদ্ধৃতি
টেমপ্লেট:ওয়েব উদ্ধৃতি (accurate; C, fortran, python)
টেমপ্লেট:ওয়েব উদ্ধৃতি (fast lookup, accurate; C, fortran)

৯-জে প্রতীক

পরিচ্ছেদসমূহ

চার কৌণিক ভরবেগের পুনঃসংযোগ

প্রতিসাম্য সম্পর্ক

৬জে প্রতীকে রূপান্তর

বিশেষ ক্ষেত্র

অর্থোগোনাল সম্পর্ক

3n-j প্রতীক

আরও দেখুন

তথ্যসূত্র

বহিঃসংযোগ

পরিভ্রমণ বাছাইতালিকা

৯-জে প্রতীক

চার কৌণিক ভরবেগের পুনঃসংযোগ

প্রতিসাম্য সম্পর্ক

৬জে প্রতীকে রূপান্তর

বিশেষ ক্ষেত্র

অর্থোগোনাল সম্পর্ক

3n-j প্রতীক

আরও দেখুন

তথ্যসূত্র

বহিঃসংযোগ

পরিভ্রমণ বাছাইতালিকা

অনুসন্ধান