E (গাণিতিক ধ্রুবক)

টেমপ্লেট:Mvar একটি গাণিতিক ধ্রুবক, যা অয়লারের সংখ্যা নামে পরিচিত। যার সাংখ্যিক মান হল 2.71828182845...। উক্ত সংখ্যাটি বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য সম্পন্ন। এটি প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি। এটি (1 + 1/n)ⁿ এর সীমা, যখন n এর মান অসীমের সন্নিকটবর্তী। চক্রবৃদ্ধি মুনাফা অধ্যয়নে এটি ব্যবহৃত হয়। তবে এটি কিছু কিছু অসীম ধারার যোগফল নির্ণয়েও কাজে লাগে।

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\cdots$

ইতিহাস

স্কটিশ গণিতজ্ঞ জন নেপিয়ার ১৬১৮ খ্রিস্টাব্দে উক্ত ধ্রুবকটি সম্পর্কে উল্লেখ করেন। তবে ধ্রুবকটি আবিষ্কার ও সংজ্ঞায়িত করার কৃতিত্ব দেওয়া হয় জ্যাকোব বার্নোলিকে। যিনি নিম্নোক্ত রাশিটির মান বের করার চেষ্টা করছিলেন।

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$

সংজ্ঞা

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$

অর্থাৎ e হলো প্রদত্ত রাশিটির সীমা, যখন n এর মান অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়। অন্য কথায়, n এর মান যত বৃদ্ধি পায়, রাশিটির মান তত e এর কাছাকাছি যেতে থাকে।

মান নির্ণয়

$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}$

উক্ত অসীম ধারাটির সমষ্টি e এর সমান।

প্রমাণটাও সহজ, প্যাসক্যালের দ্বিপদী উপপাদ্য অনুযায়ী,

$(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^n=1+nx+\frac{n(n-1)x^2}{2!}+\frac{n(n-1)(n-2)x^3}{3!}+\dots$

সুতরাং, যখন $x=\frac{1}{n}$, তখন,

$(1+\frac{1}{n}{)}^n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\frac{1}{n}{)}^n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1(1-\frac{1}{n})}{2!}+\frac{1(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})}{3!}+\dots$

যার সীমা হলো e (কারণ n এর মান যত বৃদ্ধি পায়, $\frac{1}{n}$ এর মান তত শুন্যের দিকে কমতে থাকে)।

সূচক ফাংশন

$\sqrt[x]{x}$ এর চরম মান টেমপ্লেট:Nowrap

$e^x$ রাশিটিকে x এর ফাংশন হিসেবে ধরে একে সূচক ফাংশন বলা হয়। একে $\exp (x)$ও লেখা হয়।

ফাংশনটিকে একটি অসীম ধারা হিসেবে লেখা যায় (এই ধারাটি কোন নির্দিষ্ট x এর জন্য ফাংশনটির মান নির্ণয়েও ব্যবহৃত হয়),

$e^x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots$

অয়লারের অভেদ

$e^{i\pi }+1=0$ সমীকরণটি e কে 1, $\pi$ এবং i এর মতন গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত করে। ১৭৩৭ সালে অয়লার দেখান যে, e একটি অমূলদ সংখ্যা। ১৮৭৩ সালে হেরমিট প্রমাণ করেন যে, e একটি তুরীয় সংখ্যা($\pi$ পাই এর মত)