অসীম গুণফল

টেমপ্লেট:উৎসহীন গণিতে অসীম গুণফলকে (infinite product) নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

মিশ্র সংখ্যার কোনো শ্রেণী a₁, a₂, a₃, ... এর জন্য গুণফল

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1{a}_2{a}_3\cdots$

এর আংশিক গুণফল a₁a₂...a_n এর সীমাকে অসীম গুণফল বলা হয়, যখন n অসীমের দিকে অগ্রসর হয়। যখন সীমার অস্তিত্ব থাকে, এবং মান অশূন্য হয়, তখন গুণফল অভিসারী (converging) হয়, নচেৎ গুণফল অপসারী (diverging) হয়।

π এর মান এক অসীম গুণফলরূপে লেখা যায়:

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdot \cdots$

$\frac{\pi }{2}=(\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3})\cdot (\frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5})\cdot (\frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7})\cdot (\frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9})\cdot \cdots =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right).$

অপেক্ষকের অসীম গুণফলরূপে নিরূপণ

অসীম গুণফলের সঙ্গে সম্পর্কিত একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল এই যে সমস্ত সম্পূর্ণ অপেক্ষককে (entire function) f(z) সম্পূর্ণ অপেক্ষকসমূহ, যার সর্বাধিক একটিই মূল আছে, তার অসীম গুণফলরূপে প্রকাশ করা যায়।

কয়েকটি প্রকৃত মানের জন্য গামা অপেক্ষকের গ্রাফ

নীচে কিছু অপেক্ষকের অসীম গুণফলরূপে মান দেওয়া হয়েছে:

অপেক্ষক	অসীম গুণফলরূপে মান	টিকা
সরল পোল	$\begin{array}{cc}\frac{c}{c-z}& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{1}{n}{\left(\frac{z}{c}\right)}^n}\\ \frac{1}{1-z}& =\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+z^{2^n})\end{array}$
Sinc অপেক্ষক	$\frac{\sin \pi z}{\pi z}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{n^2})$	This is due to Euler. Wallis' formula for π is a special case of this.
অন্যোন্যক গামা অপেক্ষক	$\begin{array}{cc}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}& =z{e}^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{z}{n})e^{-\frac{z}{n}}\\ & =z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1+\frac{z}{n}}{{(1+\frac{1}{n})}^z}\end{array}$	Schlömilch
উইয়ারসট্রাস সিগমা অপেক্ষক	$\sigma (z)=z\prod _{\omega \in {\mathrm{\Lambda }}_{*}}(1-\frac{z}{\omega })e^{\frac{z^2}{2{\omega }^2}+\frac{z}{\omega }}$	Here ${\mathrm{\Lambda }}_{*}$ is the lattice without the origin.
কিউ-পোচামার চিহ্ন	$(z;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1-z{q}^n)$	Widely used in q-analog theory. The Euler function is a special case.
রামানুজন থিটা অপেক্ষক	$\begin{array}{cc}f(a,b)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{\frac{n(n+1)}{2}}{b}^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ & =\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1+a^{n+1}{b}^n)(1+a^n{b}^{n+1})(1-a^{n+1}{b}^{n+1})\end{array}$	An expression of the Jacobi triple product, also used in the expression of the Jacobi theta function
রিম্যান জিটা অপেক্ষক	$\zeta (z)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-p_n^{-z}}$	Here pn denotes the sequence of prime numbers. This is a special case of the Euler product.

তথ্যসূত্র

• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি