মেনেলাউসের উপপাদ্য

ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, মেনেলাউসের উপপাদ্য, যার নামকরণ করা হয়েছে আলেকজান্দ্রিয়ার মেনেলাউসের নামানুসারে, হচ্ছে সমতল জ্যামিতিতে ত্রিভুজ সম্পর্কিত একটি প্রস্তাবনা। ধরি, একটি ত্রিভুজ হলো টেমপ্লেট:Math এবং একটি ছেদক রেখা যা টেমপ্লেট:Mvar কে যথাক্রমে টেমপ্লেট:Mvar বিন্দুতে ছেদ করে। যেখানে টেমপ্লেট:Mvar বিন্দুত্রয় টেমপ্লেট:Mvar থেকে আলাদা। উপপাদ্যটির একটি দুর্বল সংস্করণ বলে যে,

$$\left|\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}\right|\times \left|\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\right|\times \left|\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\right|=1,$$

যেখানে "| |" পরম মান বোঝায় (অর্থাৎ, প্রতিটি অংশের দৈর্ঘ্য ধনাত্মক)।

মেনেলাউসের উপপাদ্যের চিহ্নসহ সংস্করণে বলা হয়েছে-

$$\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}\times \frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=-1.$$

সমানভাবে,

$$\overline{AF}\times \overline{BD}\times \overline{CE}=-\overline{FB}\times \overline{DC}\times \overline{EA}.$$

কিছু লেখক উপাদানগুলিকে ভিন্নভাবে সংগঠিত করে এবং আপাতদৃষ্টিতে যা ভিন্ন সম্পর্ক বলে মনে হয়- $$\frac{\overline{FA}}{\overline{FB}}\times \frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}\times \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}}=1,$$কিন্তু যেহেতু এই ফ্যাক্টরগুলির প্রতিটি উপরের সংশ্লিষ্ট ফ্যাক্টরের ঋণাত্মক, তাই এই সম্পর্কটি একই সূত্রকে নির্দেশ করে।

উপপাদ্যটি সেভার উপপাদ্যের সাথে অত্যন্ত সাদৃশ্যপূর্ণ, যে তাদের সমীকরণগুলি শুধুমাত্র চিহ্নের মধ্যে পৃথক। ক্রস-অনুপাতের পরিপ্রেক্ষিতে উভয় উপপাদ্যকে পুনরায় লিখলে, দুটি উপপাদ্যকে প্রজেক্টিভ দ্বৈত হিসাবে মনে হতে পারে।