কশি সূচক

গাণিতিক বিশ্লেষণে, কশি সূচক হলো একটি পূর্ণসংখ্যা যা একটি ব্যবধানে একটি বাস্তব মূলদ ফাংশনের সাথে যুক্ত। রাউথ-হুরউইটজ উপপাদ্য দ্বারা, আমাদের নিম্নলিখিত ব্যাখ্যা আছে। কশি সূচক:

r ( x ) = p ( x ) / q ( x )

আসল রেখার উপরে হল ডান অর্ধেক প্লেনে অবস্থিত f ( z ) এর শিকড়ের সংখ্যা এবং বাম অর্ধেক প্লেনে অবস্থিতগুলির মধ্যে পার্থক্য। জটিল বহুপদী f ( z ) এমন

f ( iy ) = q ( y ) + ip ( y )।

আমাদের অবশ্যই অনুমান করতে হবে যে p এর ডিগ্রী q এর ডিগ্রীর চেয়ে কম।

সংজ্ঞা

• ১৮৩৭ সালে অগাস্টিন-লুই কশি দ্বারা যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের মেরুগুলির জন্য কশি সূচকটি প্রথম সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল যেমন একতরফা সীমা ব্যবহার করে:

$I_{s}r=\{\begin{array}{cc}+1,& \text{if }\underset{x\uparrow s}{\lim }r(x)=-\mathrm{\infty }\wedge \underset{x\downarrow s}{\lim }r(x)=+\mathrm{\infty },\\ -1,& \text{if }\underset{x\uparrow s}{\lim }r(x)=+\mathrm{\infty }\wedge \underset{x\downarrow s}{\lim }r(x)=-\mathrm{\infty },\\ 0,& \text{otherwise.}\end{array}$

• কমপ্যাক্ট ব্যবধানের উপর একটি সাধারণীকরণ [ a, b ] সরাসরি (যখন a বা b উভয়ই r ( x ) এর মেরু নয়): এটি কচি সূচকের সমষ্টি $I_s$ ব্যবধানে অবস্থিত প্রতিটি s-এর জন্য r। আমরা সাধারণত এটি দ্বারা চিহ্নিত করিঃ $I_a^{b}r$ .
• আমরা তখন টাইপের ব্যবধানে সাধারণীকরণ করতে পারি $[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ যেহেতু r- এর মেরুগুলি একটি সসীম সংখ্যা ( a এবং b- এর জন্য কচি সূচকের সীমাকে [ a, b ] ধরে নিয়ে অসীমতায় চলে যায়)।

উদাহরণ

একটি যৌক্তিক ফাংশন

• যুক্তিবাদী ফাংশন বিবেচনা করুন:

$r(x)=\frac{4x^3-3x}{16x^5-20x^3+5x}=\frac{p(x)}{q(x)}.$

আমরা ডিগ্রী ৩ এবং ৫ এর চেবিশেভ বহুপদ যথাক্রমে p (x) এবং q (x) এ চিনতে পারি। অতএব, r (x) এর খুঁটি রয়েছে $x_1=0.9511$, $x_2=0.5878$, $x_3=0$, $x_4=-0.5878$ এবং $x_5=-0.9511$, যেমন $x_j=\cos ((2i-1)\pi /2n)$ জন্য $j=1,...,5$ . আমরা ছবিতে দেখতে পাচ্ছি যে $I_{x_1}r=I_{x_2}r=1$ এবং $I_{x_4}r=I_{x_5}r=-1$ . শূন্য মেরু জন্য, আমরা আছে $I_{x_3}r=0$ যেহেতু বাম এবং ডান সীমা সমান (যার কারণ p (x) এরও শূন্যের একটি মূল রয়েছে)। আমরা যে উপসংহার $I_{-1}^{1}r=0=I_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}r$ যেহেতু q (x) এর মাত্র পাঁচটি মূল আছে, সবগুলোই [ − 1,1]। আমরা এখানে F (iy) এর সাথে প্রতিটি জটিল বহুপদী হিসাবে Routh-Hurwitz উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারি না। = q (y)  + ip (y) এর কাল্পনিক লাইনে একটি শূন্য রয়েছে (যেমন মূলে)।