কার্লেমানের শর্ত

গণিতে, বিশেষত গাণিতিক বিশ্লেষণে, কার্লেমানের শর্ত মুহূর্তের সমস্যার নির্ধারণযোগ্যতার জন্য একটি যথেষ্ট শর্ত প্রদান করে। অর্থাৎ, যদি একটি পরিমাপ $\mu$ কার্লেমানের শর্ত পূরণ করে, তবে এমন কোনো ভিন্ন পরিমাপ $\nu$ থাকবে না যার মুহূর্তগুলো $\mu$-এর সমান। এই শর্তটি প্রথম ১৯২২ সালে টরস্টেন কার্লেমান আবিষ্কার করেছিলেন।

হ্যামবার্গার মুহূর্ত সমস্যা

হ্যামবার্গার মুহূর্ত সমস্যার (সম্পূর্ণ বাস্তব রেখায় মুহূর্ত সমস্যা) ক্ষেত্রে এই তত্ত্ব নিম্নরূপ:

ধরা যাক $\mu$ একটি পরিমাপ, যা $ℝ$ (বাস্তব সংখ্যা সমষ্টি) উপর সংজ্ঞায়িত এবং যার সব মুহূর্ত$$m_n=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{n}d\mu (x),n=0,1,2,\cdots$$ সসীম।

যদি $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{m}_{2n}^{-\frac{1}{2n}}=+\mathrm{\infty },$$তাহলে $(m_n)$ মুহূর্তগুলোর জন্য মুহূর্তের সমস্যাটি নির্ধারিত; অর্থাৎ, $\mu$ হলো বাস্তব রেখায় একমাত্র পরিমাপ $ℝ$, যার মুহূর্তের ক্রম $(m_n)$।

স্টিলটিয়েস মুহূর্ত সমস্যা

স্টিলটিয়েস মুহূর্ত সমস্যার জন্য নির্ধারণযোগ্যতার একটি যথেষ্ট শর্ত হলো:$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{m}_n^{-\frac{1}{2n}}=+\mathrm{\infty }.$$

কার্লেমানের অবস্থার সাধারণীকরণ

২০২৪ সালে নাসিরাই এবং তার সহকর্মীরা প্রমাণ করেছেন যে, পূর্ববর্তী ধারণাগুলোর বিপরীতে, যদি ইন্টিগ্র্যান্ড একটি যেকোনো ফাংশন হয়, তাহলে কার্লেমানের শর্ত সর্বদা যথেষ্ট নয়। তারা একটি পাল্টা উদাহরণ দিয়ে দেখিয়েছেন যে, এ ধরনের ক্ষেত্রে নির্ধারণযোগ্যতার বৈশিষ্ট্য লঙ্ঘিত হয়।তারা আরও প্রমাণ করেছেন যে ইন্টিগ্র্যান্ড যখন একটি স্বেচ্ছাচারী ফাংশন হয়, তখন মোমেন্ট সমস্যার নির্ধারণযোগ্যতার জন্য নতুন একটি পর্যাপ্ত শর্ত প্রয়োজন। এই শর্তটি কার্লেমানের অবস্থার সাধারণীকরণ হিসাবে উল্লেখ করা হয়।

তথ্যসূত্র

• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি
• Chapter 3.3, Durrett, Richard. Probability: Theory and Examples. 5th ed. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics 49. Cambridge ; New York, NY: Cambridge University Press, 2019.