পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম

গণিতে, একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম হল একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির উপাদানগুলির একটি পাটিগণিতের অগ্রগতির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সাথে উপাদান দ্বারা উপাদান গুণনের ফলাফল। একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের n তম উপাদানটি একটি পাটিগণিত ক্রমটির n তম উপাদান এবং একটি জ্যামিতিক অনুক্রমের n তম উপাদানের গুণফল। একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজ হল এমন একটি পদের সমষ্টি যা একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের উপাদান। অ্যারিথমেটিকো-জ্যামিতিক ক্রম এবং সিরিজগুলি বিভিন্ন অ্যাপ্লিকেশনে উদ্ভূত হয়, যেমন সম্ভাব্যতা তত্ত্বে প্রত্যাশিত মানের গণনা, বিশেষ করে বার্নোলি প্রক্রিয়াগুলিতে ।

উদাহরণস্বরূপ, ক্রম

$\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{8},\frac{4}{16},\frac{5}{32},\cdots$

একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম। গাণিতিক উপাদানটি লবটিতে (নীল রঙে) এবং জ্যামিতিকটি হর (সবুজ রঙে) প্রদর্শিত হয়। এই ক্রমটির অসীম উপাদানগুলির সিরিজ যোগফলকে গ্যাব্রিয়েলের সিঁড়ি বলা হয় এবং এটির মান 2। সাধারণভাবে,

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{r}^k=\frac{r}{(1-r{)}^2}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}0<r<1.$

</br> পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক ক্রম উভয় বৈশিষ্ট্যের সমন্বয়ে বিভিন্ন বস্তুকে পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের লেবেলও দেওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, গাণিতিক-জ্যামিতিক অনুক্রমের ফরাসি ধারণাটি সেই ক্রমগুলিকে বোঝায় যা ফর্মের পুনরাবৃত্তি সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে। $u_{n+1}=r{u}_n+d$, যা সংজ্ঞায়িত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক একত্রিত করে $u_{n+1}=u_n+d$ পাটিগণিত ক্রম এবং জন্য $u_{n+1}=r{u}_n$ জ্যামিতিক ক্রমগুলির জন্য। এই ক্রমগুলি তাই রৈখিক পার্থক্য সমীকরণের একটি বিশেষ শ্রেণির সমাধান: অবিচ্ছিন্ন প্রথম ক্রম রৈখিক পুনরাবৃত্তি সহ ধ্রুবক সহগ ।

উপাদান

একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের উপাদান $(A_n{G}_n{)}_{n\ge 1}$ একটি গাণিতিক অগ্রগতির উপাদানগুলির পণ্য $(A_n{)}_{n\ge 1}$ (নীল রঙে) প্রাথমিক মান সহ $a$ এবং সাধারণ পার্থক্য $d$, $A_n=a+(n-1)d,$ জ্যামিতিক অগ্রগতির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সাথে $(G_n{)}_{n\ge 1}$ (সবুজ রঙে) প্রাথমিক মান সহ $b$ এবং সাধারণ অনুপাত $r$, $G_n=b{r}^{n-1},$ যাতে

$\begin{array}{cc}{A}_1{G}_1& =ab\\ A_2{G}_2& =(a+d)br\\ A_3{G}_3& =(a+2d)b{r}^2\\ & ⋮\\ A_n{G}_n& =(a+(n-1)d)b{r}^{n-1}.\end{array}$

এই চারটি পরামিতি কিছুটা অপ্রয়োজনীয় এবং তিনটিতে হ্রাস করা যেতে পারে: $ab,$$bd,$ এবং $r.$

উদাহরণ

ক্রম

$\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{8},\frac{4}{16},\frac{5}{32},\cdots$

পরামিতি সহ পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম $d=b=1$, $a=0$, এবং $r=1/2$ .

সিরিজ

আংশিক যোগফল

একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের প্রথম টেমপ্লেট:Math পদের যোগফলের ফর্ম আছে

$\begin{array}{cc}{S}_n& =\sum _{k=1}^n{A}_k{G}_k=\sum _{k=1}^n(a+(k-1)d)b{r}^{k-1}=b\sum _{k=0}^{n-1}(a+kd)r^k\\ & =ab+(a+d)br+(a+2d)b{r}^2+\cdots +(a+(n-1)d)b{r}^{n-1}\end{array}$

যেখানে $A_i$ এবং $G_i$ এগুলি যথাক্রমে পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক অনুক্রমের টেমপ্লেট:Mvar তম উপাদান।

এই আংশিক যোগফলের বদ্ধ-ফর্ম অভিব্যক্তি আছে

$\begin{array}{cc}{S}_n& =\frac{ab-(a+nd)b{r}^n}{1-r}+\frac{dbr(1-r^n)}{(1-r{)}^2}\\ & =\frac{A_1{G}_1-A_{n+1}{G}_{n+1}}{1-r}+\frac{dr}{(1-r{)}^2}(G_1-G_{n+1}).\end{array}$

ডেরিভেশন

গুণ করা

$S_n=ab+(a+d)br+(a+2d)b{r}^2+\cdots +(a+(n-1)d)b{r}^{n-1}$

টেমপ্লেট:Math দিয়ে দেয়

$r{S}_n=abr+(a+d)b{r}^2+(a+2d)b{r}^3+\cdots +(a+(n-1)d)b{r}^n.$

টেমপ্লেট:Math থেকে টেমপ্লেট:Math বিয়োগ করা, উভয় দিক দিয়ে ভাগ করা $b$, এবং টেলিস্কোপিং সিরিজের কৌশল (দ্বিতীয় সমতা) এবং একটি সসীম জ্যামিতিক সিরিজের যোগফলের সূত্র ব্যবহার করে (পঞ্চম সমতা) দেয়

$\begin{array}{cc}(1-r)S_n/b=& (a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots +(a+(n-1)d)r^{n-1})\\ & -(ar+(a+d)r^2+(a+2d)r^3+\cdots +(a+(n-1)d)r^n)\\ =& a+d(r+r^2+\cdots +r^{n-1})-(a+(n-1)d)r^n\\ =& a+d(r+r^2+\cdots +r^{n-1}+r^n)-(a+nd)r^n\\ =& a+dr(1+r+r^2+\cdots +r^{n-1})-(a+nd)r^n\\ =& a+\frac{dr(1-r^n)}{1-r}-(a+nd)r^n,\\ S_n=& \frac{b}{1-r}(a-(a+nd)r^n+\frac{dr(1-r^n)}{1-r})\\ =& \frac{ab-(a+nd)b{r}^n}{1-r}+\frac{dr(b-b{r}^n)}{(1-r{)}^2}\\ =& \frac{A_1{G}_1-A_{n+1}{G}_{n+1}}{1-r}+\frac{dr(G_1-G_{n+1})}{(1-r{)}^2}\end{array}$

যেমন দাবি করা হয়েছে।

অসীম সিরিজ

যদি −1 < r < 1 হয়, তাহলে পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের যোগফল S, অর্থাৎ অনুক্রমের উপাদানগুলির আংশিক যোগফলের সীমা দ্বারা দেওয়া হয়।

$\begin{array}{cc}S& =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{t}_k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n\\ & =\frac{ab}{1-r}+\frac{dbr}{(1-r{)}^2}\\ & =\frac{A_1{G}_1}{1-r}+\frac{dr{G}_1}{(1-r{)}^2}.\end{array}$

যদি r উপরের সীমার বাইরে হয়, b শূন্য নয়, এবং a এবং d উভয়ই শূন্য নয়, সীমাটি বিদ্যমান নেই এবং সিরিজটি ভিন্ন ।

উদাহরণ

যোগফল

$S=\frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\cdots$ ,

দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের সমষ্টি $d=b=1$, $a=0$, এবং $r=\frac{1}{2}$, এবং এটি একত্রিত হয় $S=2$ . এই ক্রমটি "টেইল" পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় মুদ্রা টসের প্রত্যাশিত সংখ্যার সাথে মিলে যায়। সম্ভাবনা $T_k$ টসে প্রথমবার টেল পাওয়া নিম্নরূপ:

$T_1=\frac{1}{2},T_2=\frac{1}{4},\dots ,T_k=\frac{1}{2^k}$ .

অতএব, প্রথম "টেলস" পৌঁছানোর জন্য টসের প্রত্যাশিত সংখ্যা দেওয়া হয়

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{T}_k=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k}{2^k}=2.$

একইভাবে, যোগফল

$S=\frac{0*1/6}{5/6}+\frac{1*1/6}{1}+\frac{2*1/6}{6/5}+\frac{3*1/6}{(6/5{)}^2}+\frac{4*1/6}{(6/5{)}^3}+\frac{5*1/6}{(6/5{)}^4}+\cdots$

দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের সমষ্টি $d=1$, $a=0$, $b=(1/6)/(5/6)$, এবং $r=5/6$, এবং এটি 6-এ রূপান্তরিত হয়। এই ক্রমটি একটি ডাই রোলে একটি নির্দিষ্ট মান পেতে প্রয়োজনীয় ছয়-পার্শ্বযুক্ত ডাইস রোলের প্রত্যাশিত সংখ্যার সাথে মিলে যায়, উদাহরণস্বরূপ "5"। সাধারণভাবে, সঙ্গে এই সিরিজ $d=1$, $a=0$, $b=p/(1-p)$, এবং $r=(1-p)$ "সাফল্যের সম্ভাবনা" সহ বার্নৌলি প্রক্রিয়াগুলিতে "প্রথম সাফল্য না হওয়া পর্যন্ত পরীক্ষার সংখ্যা" এর প্রত্যাশা দিন $p$ . প্রতিটি ফলাফলের সম্ভাব্যতা একটি জ্যামিতিক বন্টন অনুসরণ করে এবং সিরিজের শর্তাবলীতে জ্যামিতিক ক্রম উপাদান প্রদান করে, যখন প্রতি ফলাফলের পরীক্ষার সংখ্যা শর্তাবলীতে গাণিতিক ক্রম উপাদান প্রদান করে।

নোট

• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি