বিটা অপেক্ষক

বিটা অপেক্ষকের কনটুর প্লট

গণিত-এ বিটা অপেক্ষক (beta function) এক বিশেষ অপেক্ষক যা নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়-

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$

$\text{Re}(x)$ এর জন্য, $\text{Re}(y)>0.$

একে 'প্রথম প্রকারের অয়লার সমাকল'ও (Euler integral of the first kind) বলা হয়। বিটা অপেক্ষকের অধ্যয়ন অয়লার (Leonhard Euler) এবং ল্যাগ্রাঞ্জ (Adrien-Marie Legendre) করেছিলেন। বিটা অপেক্ষকের জন্য Β এর প্রয়োগ করা হয় যা গ্রিক বর্ণ 'বিটা' β এর বড় হাতের রূপ।

ধর্ম

$\mathrm{R}\mathrm{e}(x)>0$ তথা $\mathrm{R}\mathrm{e}(y)>0$ এর জন্য বিটা অপেক্ষককে গামা অপেক্ষক অনুসারে নিম্নলিখিতভাবেও সংজ্ঞায়িত করা যায়:

$B(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}.$

টেমপ্লেট:Collapse top ধরা হলো যখন $\mathrm{R}\mathrm{e}(x)>0$ তখন $\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^{x-1}{e}^{-u}\mathrm{d}u$। অতএব (দ্বিতীয় লাইনে $u=zt,v=z(1-t)$ রূপান্তর প্রয়োগ করে) দেখা যায় যে

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =\underset{u=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{v=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(u+v)}{u}^{x-1}{v}^{y-1}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ & =\underset{z=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{t=0}{\overset{1}{\int }}{e}^{-z}{z}^{x+y-1}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\mathrm{d}t\mathrm{d}z\\ & =\mathrm{\Gamma }(x+y)B(x,y)\end{array}$

(যেখানে তৃতীয় লাইনে সমাকলনের বদলাতে ফুবিনি উপপাদ্যর প্রয়োগ নিহিত আছে। ) $\mathrm{R}\mathrm{e}(x)>0$ তথা $\mathrm{R}\mathrm{e}(y)>0$ থাকলে $\mathrm{\Gamma }(x+y)\ne 0$ হয়। টেমপ্লেট:Collapse bottom

আরও দেখুন

• বেসল অপেক্ষক
• গামা অপেক্ষক

বহিঃসংযোগ

• • উল্ফ্রাম: বিটা অপেক্ষকের মান
  • danielsoper.com: বিটা অপেক্ষক গণক তথা নিয়মিত বিটা অপেক্ষক গণক