সম-বিন্যাস (অবিচ্ছিন্ন)

টেমপ্লেট:সম্ভাবনা বিন্যাস অবিচ্ছিন্ন সম-বিন্যাস (continuous uniform distribution) সম্ভাবনার এমন একটি অবিচ্ছিন্ন বিন্যাস, যার যেকোনো একই দৈর্ঘ্যের ব্যবধির (interval) সম্ভাবনা সমান। সমভাবে বিন্যস্ত কোনো দৈব চলক যদি কেবল a হতে b এর মাঝে মান নেয়, যেখানে a < b, তবে সম-বিন্যাসের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (probability density function) হবে:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a}& \text{for }a<x<b,\\ \\ 0& \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}x<a\mathrm{o}\mathrm{r}x>b,\\ \\ \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}& \text{for }x=a\text{ or }x=b.\end{array}$

ঘনত্ব অপেক্ষকের মান a ও b তে একেকক্ষেত্রে একেক রকম ধরা হয়, কখনো শূন্য, কখনো 1/(b − a), কোনো কোনো ক্ষেত্রে 1/(2(b − a))। এই দুই প্রান্তিক মানের কারণে f(x) dx বা x f(x) dx এর সমাকলন মানে কোনো পরিবর্তন হয় না বিধায় f(a) ও f(b) সাধারণত অগুরুত্বপূর্ণ।

ক্রমযোজিত বিন্যাস ফাংশন (Cumulative Distribution Function)

সম-বিন্যাসের ক্রমযোজিত বিন্যাস ফাংশন হল:

$F(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{for }x<a\\ \frac{x-a}{b-a}& \text{for }a\le x<b\\ 1& \text{for }x\ge b\end{array}$

'সমতা'

সম-বিন্যাসের 'সমতা'-র নিহিতার্থ হল - সমভাবে বিন্যস্ত কোনো দৈব চলকের যেকোনো একই দৈর্ঘ্যের ব্যবধিতে পড়ার সম্ভাবনা সমান। যদি $X\sim \text{U}(a,b)$ হয় এবং $d$ যদি $[a,b]$ এর একটি ধ্রুব অনুব্যবধি (subinterval) হয়, যেখানে $d\ge 0$, তাহলে $X$-এর যেকোনো $d$ দৈর্ঘ্যের ব্যবধিতে পড়ার সম্ভাবনা -

$\begin{array}{ccc}P(X\in [x,x+d])& =& \underset{x}{\overset{x+d}{\int }}1/(b-a)dy\\ & =& ((x+d)-x)/(b-a)\\ & =& d/(b-a)\end{array}$

হবে, যা ধ্রুব। অতএব - যেকোনো একই দৈর্ঘ্যের ব্যবধিতে পড়ার সম্ভাবনা সমান।

পরিমিত সম-বিন্যাস

সম-বিন্যাসের a = 0 ও b = 1 হলে তাকে পরিমিত সম-বিন্যাস বলে। পরিমিত সম-বিন্যাসের একটি বৈশিষ্ট্য হল, যদি U₁ পরিমিত সম-বিন্যস্ত একটি দৈব চলক হয়, অর্থাৎ -

$U_1\sim \mathrm{U}\mathrm{N}\mathrm{I}\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{R}\mathrm{M}(0,1)$

তাহলে 1-U₁ ও সমভাবে বিন্যস্ত হবে, অর্থাৎ -

$1-U_1\sim \mathrm{U}\mathrm{N}\mathrm{I}\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{R}\mathrm{M}(0,1)$

অন্যান্য বিন্যাসের সাথে সম্পর্ক

• $Y\sim \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}(\lambda )$ একটি সূচকীয় বিন্যাস হবে যদি $Y=-\frac{1}{\lambda }\ln (X)$ হয় এবং $X\sim \mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}(0,1)$ হয়।