স্টার্লিং-এর অনুমান

ফ্যাক্টরিয়ালের সাথে স্টার্লিং-এর অনুমানের তুলনা

গণিতে, স্টার্লিং-এর অনুমান (বা স্টার্লিং-এর সূত্র ) হলো ফ্যাক্টরিয়ালের জন্য একটি অনুমান যা মূলত একটি অসীমতট নির্দেশ করে। এটি একটি ভালো অনুমান, এমনকি $n$ এর ছোট মানের জন্যও এটি প্রায় নির্ভুল মান প্রদর্শন করে। এটি জেমস স্টার্লিং এর নামানুসারে নামকরণ করা হয়েছে, যদিও একটি কাছাকাছি ও কম সুনির্দিষ্ট ফলাফল প্রথম আব্রাহাম ডি মোইভার প্রকাশ করেছিলেন।

এই অনুমান বর্ণনা করার একটি উপায় হলো ফ্যাক্টোরিয়ালের লগারিদম: $$\ln (n!)=n\ln n-n+O(\ln n),$$যেখানে O নোটেশনের অর্থ হলো, $n$ এর সকল বৃহৎ মানের জন্য, $\ln (n!)$ এবং $n\ln n-n$ এর মধ্যে পার্থক্য উক্ত লগারিদমের সর্বাধিক সমানুপাতিক হবে। তুলনা সর্টিংয়ের জন্য সবচেয়ে খারাপ-কেস লোয়ার বাউন্ডের মতো কম্পিউটার বিজ্ঞানের অ্যাপ্লিকেশনে, এর পরিবর্তে বাইনারি লগারিদম ব্যবহার করা সুবিধাজনক, যার সমতুল্য আকার হলো- $${\log }_2(n!)=n{\log }_{2}n-n{\log }_{2}e+O({\log }_{2}n).$$উভয়ের ভিত্তির ত্রুটিকে আরও সুনির্দিষ্টভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে নিম্নোক্তভাবে-

$\frac{1}{2}\log (2\pi n)+O(\frac{1}{n})$, যা ফ্যাক্টরিয়ালের জন্য আলোচ্য অনুমান সূত্রের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, $$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$$

এখানে $\sim$ প্রতীকের অর্থ হলো যে রাশিদ্বয় অসীমতট, অর্থাৎ যদি $n$ অসীমের দিকে ধাবিত হয় তবে এই অনুপাতটি 1 এর নিকটবর্তী হয়। নিম্নলিখিত ব্যবধিটি $n\ge 1$ এর সকল মানের জন্য প্রযোজ্য, শুধুমাত্র অসীমতট হিসেবে প্রকাশ করে না : $$\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{(\frac{1}{12n}-\frac{1}{360n^3})}<n!<\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{\frac{1}{12n}}.$$