আরসি বর্তনী

একটি রোধক– ধারক সার্কিট ( আরসি সার্কিট ), বা আরসি ফিল্টার বা আরসি নেটওয়ার্ক, একটি বৈদ্যুতিক সার্কিট যা রোধক এবং ধারক এর সমন্বয়ে গঠিত। এটি ভোল্টেজ বা বিদ্যুৎ প্রবাহ উৎস দ্বারা চালিত হতে পারে এবং এগুলি ভিন্ন ভিন্ন প্রতিক্রিয়া তৈরি করবে। একটি প্রথম অর্ডার আরসি সার্কিট একটি রোধক এবং একটি ক্যাপাসিটর এর সমন্বয়ে গঠিত এবং এটি আরসি সার্কিটের সহজতম ধরন।

আরসি সার্কিটগুলি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সিগুলি অবরুদ্ধ করে এবং অন্যদের প্রবাহিত করে, যা একটি সিগন্যাল ফিল্টার করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। দুটি সবচেয়ে সাধারণ আরসি ফিল্টার হলো উচ্চ-প্রবাহ ফিল্টার এবং নিম্ন-প্রবাহ ফিল্টার; ব্যান্ড-পাস ফিল্টার এবং ব্যান্ড-স্টপ ফিল্টারগুলিতে সাধারণত আরএলসি ফিল্টার প্রয়োজন, যদিও আরসি ফিল্টার দিয়ে অশোধিতগুলি তৈরি করা যায়।

ভূমিকা

তিনটি মূল, রৈখিক প্যাসিভ লাম্পড এনালগ সার্কিট উপাদান: রোধক (আর), ধারক (সি), এবং আবেশক (এল)। এগুলি আরসি সার্কিট, আরএল সার্কিট, এলসি সার্কিট এবং আরএলসি সার্কিটে সংমিশ্রিত হতে পারে যেখানে সংক্ষিপ্তরূপগুলি নির্দেশ করে যে কোন উপাদানগুলি ব্যবহৃত হয়। সেগুলির মধ্যে এই সার্কিটগুলি প্রচুর পরিমাণে গুরুত্বপূর্ণ ধরনের আচরণ প্রদর্শন করে যা এনালগ ইলেক্ট্রনিক্সের অনেকাংশের ভিত্তি। বিশেষত, তারা প্যাসিভ ফিল্টার হিসাবে ভূমিকা পালন করতে সক্ষম । এই নিবন্ধটি আরসি সার্কিটকে সিরিজ এবং সমান্তরাল উভয় ধরন হিসাবে বিবেচনা করেছে, যেমন নীচের চিত্রগুলিতে দেখানো হয়েছে।

প্রাকৃতিক প্রতিক্রিয়া

সবচেয়ে সরল আরসি সার্কিটটিতে একটি রোধক এবং একটি চারজিত ধারক বহিরাগত কোনো ভোল্টেজ উৎস ব্যতীতই একক লুপে একে অপরের সাথে সংযুক্ত থাকে। একবার সার্কিটটি বন্ধ করলে, ধারক তার সঞ্চিত শক্তি রোধকের মধ্যে ডিসচার্জ করতে শুরু করে। ধারক বরাবর ভোল্টেজ, যা সময় নির্ভরশীল, কারশফের তড়িৎ সুত্র ব্যবহার করে পাওয়া যায়। রোধকের মধ্যে তড়িৎ প্রবাহ অবশ্যই ধারকের উপর জমা চার্জের সময় অন্তরক এর সমমানের (তবে চিহ্ন বিপরীত) হতে হবে। ফলস্বরূপ প্রাপ্ত লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

C \frac{d V}{d t} + \frac{V}{R} = 0,

যেখানে টেমপ্লেট:Mvar ধারকের ধারকত্ব।

টেমপ্লেট:Mvar এর জন্য এই সমীকরণটি সমাধান করলে সূচকীয় ক্ষয়ের নিম্নোক্ত সূত্রটি পাওয়া যায়:

V (t) = V_{0} e^{- \frac{t}{R C}},

যেখানে V₀ হল t = 0 সময়ে ক্যাপাসিটার এর ভোল্টেজ ।

ভোল্টেজ V₀ /e তে হ্রাস পেতে প্রয়োজনীয় সময় কে আরসি সময় ধ্রুবক বলে। এটি নিম্নোক্ত ভাবে প্রকাশ করা হয়,

τ = R C .

এই সূত্রে, ԏ সেকেন্ডে, R ওহমে এবং C ফ্যারাডে পরিমাপ করা হয়।

জটিল প্রতিবন্ধকতা

ধারকত্ব C (ফ্যারাডে এককে) বিশিষ্ট একটি ধারকের জটিল প্রতিবন্ধকতা, টেমপ্লেট:Mvar (ওহম এককে) হল,

Z_{C} = \frac{1}{s C}

জটিল ফ্রিকোয়েন্সি টেমপ্লেট:Mvar, সাধারণভাবে একটি জটিল সংখ্যা ,

s = σ + j ω,

যেখানে

j কাল্পনিক একক এর প্রতিনিধিত্ব করে: j²= −1,
σ সূচকীয় ক্ষয় ধ্রুবক ( নিপার প্রতি সেকেন্ডে), এবং
কৌণিক কম্পাঙ্ক (রেডিয়ান প্রতি সেকেন্ডে)।

সাইনোসয়েডাল অবিচল অবস্থা

সাইনোসয়েডাল অবিচলিত অবস্থা একটি বিশেষ ঘটনা যেখানে ইনপুট ভোল্টেজটি একটি প্রকৃত সাইনোসয়েড (কোনও সুচকীয় ক্ষয় ছাড়াই) নিয়ে গঠিত। ফলস্বরূপ, $σ = 0$ এবং সেক্ষেত্রে প্রতিবন্ধকতা,

Z_{C} = - \frac{j}{ω C} .

সিরিজ বর্তনী

সার্কিটটিকে ভোল্টেজ বিভাজক হিসাবে দেখে ধারক বরাবর ভোল্টেজটি হ'ল:

V_{C} (s) = \frac{\frac{1}{C s}}{R + \frac{1}{C s}} V_{i n} (s) = \frac{1}{1 + R C s} V_{i n} (s)

এবং রোধক বরাবর ভোল্টেজটি হ'ল:

V_{R} (s) = \frac{R}{R + \frac{1}{C s}} V_{i n} (s) = \frac{R C s}{1 + R C s} V_{i n} (s) .

স্থানান্তর ফাংশন

ইনপুট ভোল্টেজ থেকে ধারক বরাবর ভোল্টেজে স্থানান্তর ফাংশন

H_{C} (s) = \frac{V_{C} (s)}{V_{i n} (s)} = \frac{1}{1 + R C s} .

একইভাবে, ইনপুট থেকে রোধক বরাবর ভোল্টেজের স্থানান্তর ফাংশন

H_{R} (s) = \frac{V_{R} (s)}{V_{i n} (s)} = \frac{R C s}{1 + R C s} .

মেরু এবং শূন্য

উভয় স্থানান্তর ফাংশন এর একটি একক মেরু রয়েছে যার অবস্থান-

s = - \frac{1}{R C} .

উপরন্তু, রোধ বরাবর ভোল্টেজ এর স্থানান্তর ফাংশনের একটি শূন্য আছে যা মূল বিন্দুতে অবস্থিত।

গেইন এবং দশা কোণ

দুটি উপাদান বরাবর গেইন এর মান

G_{C} = | H_{C} (j ω) | = | \frac{V_{C} (j ω)}{V_{i n} (j ω)} | = \frac{1}{\sqrt{1 + {(ω R C)}^{2}}}

এবং

G_{R} = | H_{R} (j ω) | = | \frac{V_{R} (j ω)}{V_{i n} (j ω)} | = \frac{ω R C}{\sqrt{1 + {(ω R C)}^{2}}},

এবং দশা কোণ সমূহ

ϕ_{C} = ∠ H_{C} (j ω) = \tan^{- 1} (- ω R C)

এবং

ϕ_{R} = ∠ H_{R} (j ω) = \tan^{- 1} (\frac{1}{ω R C}) .

এই অভিব্যক্তিগুলি একত্রে আউটপুট প্রতিনিধিত্বকারী ফেজরের স্বাভাবিক অভিব্যক্তিতে পরিবর্তিত হতে পারে:

\begin{matrix} V_{C} & = G_{C} V_{i n} e^{j ϕ_{C}} \\ V_{R} & = G_{R} V_{i n} e^{j ϕ_{R}} . \end{matrix}

তড়িৎ প্রবাহ

বর্তনীটি সিরিজ সংযোগে থাকায় বর্তনীতে তড়িৎ প্রবাহ সর্বত্র সমান:

I (s) = \frac{V_{i n} (s)}{R + \frac{1}{C s}} = \frac{C s}{1 + R C s} V_{i n} (s) .

তাড়না প্রতিক্রিয়া

প্রতিটি ভোল্টেজের তাড়না প্রতিক্রিয়া হলো সংশ্লিষ্ট স্থানান্তর ফাংশনের বিপরীত ল্যাপ্লেস রূপান্তর । এটি কোনও তাড়না বা ডায়রাক ডেল্টা ফাংশন সমন্বিত ইনপুট ভোল্টেজের জন্য সার্কিটের প্রতিক্রিয়া উপস্থাপন করে।

ধারক ভোল্টেজের জন্য তাড়না প্রতিক্রিয়া হলো

h_{C} (t) = \frac{1}{R C} e^{- \frac{t}{R C}} u (t) = \frac{1}{τ} e^{- \frac{t}{τ}} u (t),

যেখানে u ( t ) হ্যাভিসাইড বৈমাত্রেয় ফাংশন এবং Ԏ = সময় ধ্রুবক।

একইভাবে, রোধকের ভোল্টেজের জন্য তাড়না প্রতিক্রিয়া

h_{R} (t) = δ (t) - \frac{1}{R C} e^{- \frac{t}{R C}} u (t) = δ (t) - \frac{1}{τ} e^{- \frac{t}{τ}} u (t),

যেখানে δ ( t ) হলো ডায়ারাক ডেল্টা ফাংশন

ফ্রিকোয়েন্সি-ডোমেন বিবেচনা

এগুলি ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেন এক্সপ্রেশন। তাদের বিশ্লেষণগুলি দেখায় যে কোন ফ্রিকোয়েন্সি সার্কিটগুলি (বা ফিল্টারগুলি) অতিক্রম এবং প্রত্যাখ্যান করে। এই বিশ্লেষণটি ফ্রিকোয়েন্সিটি খুব বড় এবং খুব ছোট হয়ে যাওয়ার সাথে সাথে এই গেইনগুলির কী হবে তার বিবেচনার উপর নির্ভর করে।

যখন ω → ∞ :

G_{C} \to 0 and G_{R} \to 1 .

যখন ω → 0 :

G_{C} \to 1 and G_{R} \to 0 .

এটি দেখায় যে, যদি আউটপুটটি ধারক বরাবর নেওয়া হয় তবে উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সিগুলি প্রত্যাখ্যাত হয় (ভূমিতে সংক্ষেপিত) এবং কম ফ্রিকোয়েন্সিগুলি অতিক্রান্ত হয়। সুতরাং, সার্কিটটি লো-পাস ফিল্টার হিসাবে আচরণ করে। যদি, আউটপুটটি রোধকের বরাবর নেওয়া হয় তবে উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সিগুলি অতিক্রান্ত হয়ে যায় এবং কম ফ্রিকোয়েন্সিগুলি প্রত্যাখ্যাত হয় (যেহেতু ধারক তার ফ্রিকোয়েন্সি 0 এর কাছাকাছি আসার সাথে সাথে সংকেতটিকে অবরুদ্ধ করে)। এই অবয়বে, সার্কিটটি একটি উচ্চ-পাস ফিল্টার হিসাবে আচরণ করে।

ফিল্টারটি যে ফ্রিকোয়েন্সি পরিসর প্রবাহ করে তাকে তার ব্যান্ডউইথ বলে । যে বিন্দুতে ফিল্টারটি সিগন্যালটিকে তার অর্ধ-ক্ষমতার সিগন্যালে পরিণত করে তাকে তার কাট অফ ফ্রিকোয়েন্সি বলে । এর জন্য সার্কিটের গেইন কমিয়ে

G_{C} = G_{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}

।

উপরের সমীকরণ সমাধান করে

ω_{c} = \frac{1}{R C} or f_{c} = \frac{1}{2 π R C}

এটি সেই ফ্রিকোয়েন্সি যেখানে ফিল্টারটি তার মূল ক্ষমতাকে অর্ধেক করে দেবে।

স্পষ্টতই, পর্যায়গুলিও ফ্রিকোয়েন্সির উপর নির্ভর করে, যদিও এই প্রভাবটি গেইন পরিবর্তনের চেয়ে কম আকর্ষণীয়।

যখন ω → 0 :

ϕ_{C} \to 0 and ϕ_{R} \to 9 0^{\circ} = \frac{π}{2} radians .

যখন ω → ∞ :

ϕ_{C} \to - 9 0^{\circ} = - \frac{π}{2} radians and ϕ_{R} \to 0 .

ডিসি(0 Hz ) তে তাই , ধারকের ভোল্টেজ সিগন্যাল ভোল্টেজের সাথে সমদশায় রয়েছে যেখানে রোধকের ভোল্টেজ এটির থেকে 90° অগ্রগামী হয়। ফ্রিকোয়েন্সি বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে সাথে ধারকের ভোল্টেজ সিগন্যাল ভোল্টেজের তুলনায় 90° পশ্চাদগামী হয় এবং রোধকের ভোল্টেজ সিগন্যালের সাথে সমদশায় আসে।

সময়-ডোমেন বিবেচনা

এই অনুচ্ছেদটি প্রাকৃতিক লোগারিদমিক ধ্রুবক,e সম্পর্কে জ্ঞানের উপর নির্ভর করে ।

সসময় ডোমেন আচরণ প্রমানের সর্বাধিক সোজা উপায় হলো উপরের বর্ণিত V_C এবং V_R এর অভিব্যক্তিগুলির জন্য ল্যাপ্লেস রূপান্তরগুলি ব্যবহার করা। এটি কার্যকরভাবে jω → s রূপান্তর করে। একটি বৈমাত্রেয় ইনপুট ধরে নিয়ে (যেমন, t = 0 এর আগে V_in = 0 এবং পরে V_in = V ):

\begin{matrix} V_{i n} (s) & = V \cdot \frac{1}{s} \\ V_{C} (s) & = V \cdot \frac{1}{1 + s R C} \cdot \frac{1}{s} \\ V_{R} (s) & = V \cdot \frac{s R C}{1 + s R C} \cdot \frac{1}{s} . \end{matrix}

আংশিক ভগ্নাংশ বিস্তৃতি এবং বিপরীত ল্যাপ্লেস রূপান্তর হতে:

\begin{matrix} V_{C} (t) & = V (1 - e^{- \frac{t}{R C}}) \\ V_{R} (t) & = V e^{- \frac{t}{R C}} . \end{matrix}

যখন ধারক চার্জ করা হয় তখন এই সমীকরণগুলি যথাক্রমে ধারক এবং রোধকে ভোল্টেজ গণনা করার জন্য ব্যবহৃত হয় ; ডিসচার্জিং এর জন্য, সমীকরণগুলি বিপরীত হয়। C = Q/V এবং V = IR ( ওহমের সূত্র ) ব্যবহার করে এই সমীকরণগুলি চার্জ এবং তড়িৎ প্রবাহের মাধ্যমে লেখা যেতে পারে।

সুতরাং, সময় যাওয়ার সাথে সাথে ধারক বরাবর ভোল্টেজটি টেমপ্লেট:Mvar গামী হয়, যেখানে রোধক বরাবর ভোল্টেজ 0 গামী হয়, যা চিত্রগুলিতে দেখানো হয়েছে। এটি একটি স্বজ্ঞাত ধারণার সাথে সামঞ্জস্য রাখে যে, ধারকটি সময়ের সাথে সাথে সরবরাহকৃত ভোল্টেজ থেকে চার্জ হবে এবং শেষ পর্যন্ত পুরোপুরি চার্জ হবে।

এই সমীকরণগুলি দেখায় যে একটি সিরিজ আরসি সার্কিটের একটি সময় ধ্রুবক থাকে, যা সাধারণত Ԏ = RC দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং এটি কোনো উপাদান বরাবর ভোল্টেজ চূড়ান্ত মানের ১/e অংশ উন্নিত (ধারক বরাবর) বা অবনিত (রোধক বরাবর) হবার জন্য প্রয়োজনীয় সম্য। সুতরাং, Ԏ সময়ে টেমপ্লেট:Mvar V(1-1/e) তে এবং V_R V(1/e) তে পরিণত হবে।

পরিবর্তনের হার ১-১/e প্রতি Ԏ যা একটি ভগ্নাংশ । সুতরাং, t = NԎ থেকে t = ( N + 1)Ԏ এ যেতে, ভোল্টেজটি t = NԎ তে তার লেভেল থেকে চূড়ান্ত মানটির দিকে যাবার পথের ৬৩.২% চলে যাবে। সুতরাং, Ԏ সময় পরে ধারকটি প্রায় ৬৩.২% চার্জিত হবে এবং প্রায় 5Ԏ সময় পরে পুরোপুরিভাবে( ৯৯.৩%) চার্জিত হবে। ধারকটি পুরোপুরি চার্জিত অবস্থায় যখন ভোল্টেজ উৎসটি শর্ট সার্কিট দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয়, ধারক বরাবর ভোল্টেজটি সময়ের সাথে সাথে টেমপ্লেট:Mvar থেকে 0 এর দিকে সূচকীয়ভাবে হ্রাস পায়। Ԏ সময় পরে ধারকটি প্রায় ৩৬.৮% ডিসচার্জিত হবে 5Ԏ সময় পরে সম্পূর্ণরূপে (0.7%) ডিসচার্জিত হবে। উল্লেখ্য যে, বর্তিনীটিতে তড়িৎ প্রবাহ টেমপ্লেট:Mvar , ওহমের সুত্রের মাধ্যমে রোধকের বরাবর ভোল্টেজের মতো আচরণ করে।

এই ফলাফলগুলি সার্কিট বর্ণনাকারী ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করেও পাওয়া যেতে পারে:

\begin{matrix} \frac{V_{i n} - V_{C}}{R} & = C \frac{d V_{C}}{d t} \\ V_{R} & = V_{i n} - V_{C} . \end{matrix}

প্রথম সমীকরণ একটি সমাকলন ফ্যাক্টর ব্যবহার করে সমাধান করা হয় এবং দ্বিতীয় সমীকরণটি সোজা। সমাধানগুলি ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের মাধ্যমে প্রাপ্তগুলির মতোই।

সমাকলক

ধারক বরাবর উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি আউটপুট বিবেচনা করে,

ω ≫ \frac{1}{R C} .

এর অর্থ হ'ল ধারকটি চার্জিত হবার জন্য পর্যাপ্ত সময় পায় না এবং তাই এর ভোল্টেজ খুব কম হয়। সুতরাং ইনপুট ভোল্টেজ প্রায় রোধকের ভোল্টেজ এর সমান হয়। এটি দেখতে, উপরে দেওয়া $I$ এর অভিব্যক্তিটি বিবেচনা করুন:

I = \frac{V_{i n}}{R + \frac{1}{j ω C}},

তবে মনে রাখতে হবে যে বর্ণিত ফ্রিকোয়েন্সি শর্তটির অর্থ

ω C ≫ \frac{1}{R},

সুতরাং

I \approx \frac{V_{i n}}{R}

যা ঠিক ওহমের সূত্র ।

এখন,

V_{C} = \frac{1}{C} \int_{0}^{t} I d t,

সুতরাং

V_{C} \approx \frac{1}{R C} \int_{0}^{t} V_{i n} d t,

যা ধারক বরাবর একটি সমাকলক।

অন্তরক

কম ফ্রিকোয়েন্সিতে রোধক বরাবর আউটপুট বিবেচনা করে,

ω ≪ \frac{1}{R C} .

এর অর্থ ধারকটি তার ভোল্টেজ উৎসের ভোল্টেজের প্রায় সমান না হওয়া পর্যন্ত চার্জিত হবার সময় পায়। টেমপ্লেট:Mvar এর অভিব্যক্তিটি পুনরায় বিবেচনা করে, যখন

R ≪ \frac{1}{ω C},

সুতরাং

$\begin{matrix} I & \approx \frac{V_{i n}}{\frac{1}{j ω C}} \\ V_{i n} & \approx \frac{I}{j ω C} = V_{C} . \end{matrix}$

এখন,

\begin{matrix} V_{R} & = I R = C \frac{d V_{C}}{d t} R \\ V_{R} & \approx R C \frac{d V_{i n}}{d t}, \end{matrix}

যা রোধক বরাবর একটি অন্তরক।

অপারেশনাল বিবর্ধকগুলির ইনপুট এবং প্রতিক্রিয়া লুপের উপর যথাযথভাবে রোধক এবং ধারক স্থাপনের মাধ্যমে আরও নির্ভুল সমাকলক এবং অন্তরক অর্জন করা যেতে পারে ( অপারেশনাল পরিবর্ধক সমাকলক এবং অপারেশনাল পরিবর্ধক অন্তরক দেখুন )।

পিডব্লিউএম গড় প্রতিক্রিয়া

আমরা ধারকের সংজ্ঞা ব্যবহার করে বিশ্লেষণ শুরু করি:

i = C * dv / dt

এই সার্কিটে, v গড় ধারক ভোল্টেজ এবং E একটি ধ্রুবক ডিসি ভোল্টেজ হলে তড়িৎ-প্রবাহ i কে (E-v)/R দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এখান থেকে আমরা পাই:

C * dv/dt = (E-v)/R

যেহেতু E এখানে দুটি মান গ্রহণ করে, উভয় E (একটি নির্দিষ্ট ডিসি ভোল্টেজ) এবং 0 (শূন্য ভোল্টেজ) আমাদের দুটি সমীকরণ প্রয়োজন, একটি যখন এটি E হয় এবং একটি যখন এটি শূন্য হয়। দ্বিতীয় সমীকরণটি E=0 বসিয়ে প্রাপ্ত সমীকরণের সাথে অভিন্ন এবং v এর পোলারিটি ধনাত্মক হবে কারণ ধারক ডিসচার্জের সময় v একটি ধনাত্মক মান প্রাপ্ত হবে। এটি আমাদের দেয়:

C*dv/dt = v/R

এখন সমীকরণের এই সেটটির উভয় দিককে কেবল C (এবং RC = R*C) দ্বারা গুণ করে পাই:

dv/dt = (E-v)/RC (যখন পিডব্লিউএম ইনপুট E বেশি থাকে)

এবং

dv/dt = v/RC (যখন পিডব্লিউএম ইনপুট E শূন্য হয়)

সময় বৃদ্ধি dt পিডব্লিউএম কার্য চক্রের শুধু 50 শতাংশের জন্য একই, সুতরাং আমাদের আরও সাধারণ অভিব্যক্তি প্রয়োজন। এর জন্য আমরা প্রতিটি সময়-বৃদ্ধি dt কে একটি অনন্য মান দ্বারা নির্ধারণ করি:

dv/dt1 = (E-v)/RC

dv/dt2 = v/RC

এখন প্রতিটি সমীকরণে কেবল dv এর জন্য সমাধান করে:

dv = dt1*(E-v)/RC

dv = dt2*v/RC

এখন অবস্থার অবিচ্ছিন্নতা তত্ত্ব প্রয়োগ করে, আমরা বলতে পারি যে ধারকের ভোল্টেজটি এর গড় মানে থাকলে dv এর জন্য এই দুটি মান একই হতে হবে। কারণ ভোল্টেজটি যখন একটি নির্দিষ্ট নিম্ন মানের থেকে শুরু হয়, এটি পরে একই নিম্ন ভোল্টেজে নেমে আসতে হবে অন্যথায় ভোল্টেজটি এখনও তার গড় মানে পৌছায় নি। সুতরাং লক্ষণীয় যে, আমরা দুটি তুলনা করতে পারি:

dt1 * (E-v)/RC = dt2*v/RC

এবং এখন গড় ভোল্টেজ v এর জন্য সমাধান করে আমরা পাই :

v = (dt1*E)/(dt2+dt1)

এখন আমরা এখানে থামতে পারি এবং খেয়াল করতে পারি যে v হলো ধারক বরাবর গড় ভোল্টেজ এবং dt1 হলো 'চালু' অবস্থার সময় এবং dt2 হলো 'বন্ধ' অবস্থার সময়, তবে বেশিরভাগ ক্ষেত্রে আমরা এটি কার্য চক্র D এর সাথে যুক্ত করতে চাইI খুব সহজে লক্ষণীয় যে, আমরা যদি মোট সময়কাল tp জানি তবে আমরা এই দুটি সমীকরণ তুলনা করতে পারি:

dt1 = D*tp

dt2 = (1-D)*tp

যেখানে D হলো আংশিক কার্য চক্র (উদাহরণস্বরূপ ০.৩০ হলো ৩০ শতাংশ) এবং সুতরাং সেই দুটিটিকে পূর্ববর্তী সমাধানে প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে আমরা উপনীত হই:

v = (tp*D*E)/(tp*D+tp*(1-D))

এবং যখন আমরা এই অভিব্যক্তিটি সহজ করি তখন আমরা পাই:

v = D*E

খুব সাধারণ ফলাফল! সুতরাং গড় ভোল্টেজটি D*E হয় এবং আমরা তাত্ক্ষণিকভাবে লক্ষ করতে পারি যে R এবং C এর প্রকৃত মানগুলি কি তাতে কিছু যায় আসে না। প্রকৃতপক্ষে যে কোনও মানের ক্ষেত্রে এটি সত্য যতক্ষন ধারকের ভোল্টেজ 'অন' বা 'অফ' পিরিয়ডের জন্য শূন্য বা E এর কাছাকাছি না পৌঁছায়। পরে যখন আমরা শীর্ষগুলি গণনা করি, আমরা দেখতে পাই যে R এবং C এর মান কি তাতে কিছু যায় আসে না যদি RC>>tp হয়, কিন্তু সময় ধ্রুবক RC যদি মোট পর্যায়কাল tp এর সাথে তুলনাযোগ্য হয় তাহলে আমরা সময় ডোমেন গনণার উপরের এবং নীচের শীর্ষ এবং গড় গণনার উপরের এবং নীচের শীর্ষ গুলোর মাঝে একটি পার্থক্য দেখতে পাব, যদিও পার্থক্যগুলি খুব কম হতে পারে।

একটি সাধারণ উদাহরণ হলো যখন E = 10v এবং D = 0.25, গড় ভোল্টেজ v = 2.5 ভোল্ট।

আর একটি সহজ উদাহরণ হলো যখন E = 20v এবং D = 0.50 হয়, গড় ভোল্টেজ = 10 ভোল্ট।

এরপরে আমরা দুটি শীর্ষের মান, উপরের শীর্ষ এবং নিম্ন শীর্ষ গণনা করব। এটি করার জন্য কমপক্ষে দুটি উপায় রয়েছেঃ একটি গড় নির্ণয়ন কৌশল ব্যবহার করে এবং অন্যটি একটি স্ট্রেট আপ সময় ডোমেন সমাধান ব্যবহার করে। গড় নির্ণয়ন কৌশলটি একটি সংক্ষিপ্ত মোট সময়কাল tp ধরে নেয় যেখানে সময় ডোমেন সমাধানটি আদর্শ উপাদানগুলি (তাত্ত্বিক সমাধানগুলিতে যেমন হয়ে থাকে) ব্যতীত কিছুই অন্তর্ভুক্ত করে না।

গড় নির্ণয়ন কৌশলটি ব্যবহার করে আমরা লক্ষ করি যে এর আগে আমরা নিম্ন থেকে উচ্চগামী ক্যাপাসিটর ভোল্টেজ বিচ্যুতির জন্য ফলাফল পেয়েছিলাম:

dv = dt1*(E-v)/RC

এবং আমরা dt1 = D*tp প্রতিস্থাপন করেছিলাম এবং পেয়েছিলাম:

dv = D*tp*(E-v)/RC

এবং আমরা ধরে নিয়েছিলাম যে 'v' হলো গড় ভোল্টেজ। যেহেতু 'v' হলো গড় ভোল্টেজ এবং আমরা পরে এটি গণনা করেছিলাম:

v(avg) = D*E

আমরা এটি উপরের অভিব্যক্তিতে সন্নিবেশ করি এবং উপনীত হই:

dv= D*tp*(E-D*E)/RC

অথবাঃ

dv = D*tp*E*(1-D)/RC

এবং এটি ধারকের সর্বনিম্ন বিন্দু থেকে সর্বোচ্চ বিন্দু পর্যন্ত সম্পূর্ণ বিচ্যুতি, যা প্রায়শই শীর্ষ থেকে শীর্ষে ভোল্টেজ হিসাবে পরিচিত।

যেহেতু এটি সম্পূর্ণ বিচ্যুতি এবং সরলরৈখিক অনুমানে এটি ত্রিভুজাকৃতির এবং একটি ত্রিভুজাকৃতির তরঙ্গ হিসাবে এটির গড় শীর্ষ থেকে শীর্ষে তার সম্পূর্ণ প্রশস্ততার ১/২ হয়, ভ্রমণকে গড়ে পেতে আমরা কেবল এটিকে অর্ধে বিভক্ত করি। একই কারণে গড়ের নীচের প্রশস্ততাও এর অর্ধেক হবে।

আমরা লক্ষ করতে পারি যে RC মানগুলি প্রকৃতপক্ষে এই গণনার ক্ষেত্রে একটি পার্থক্য তৈরি করে যদিও গড় গণনার ক্ষেত্রে এর কোনো প্রভাব নেই।

উদাহরণ: R = 1000 ওহমস, C = 100 মাইক্রো-ফ্যারাড, tp = 0.001 সেকেন্ড, E= 10 ভোল্ট, D = 0.50 (50 শতাংশ কার্য চক্র)

ফলাফল: dv = 0.025 ভোল্ট শীর্ষ থেকে শীর্ষ।

ধনাত্মক ভ্রমণ: 0.025 / 2 = 0.0125 ভোল্ট শীর্ষ

ঋণাত্মক ভ্রমণ: 0.025 / 2 = 0.0125 ভোল্ট শীর্ষ

এছাড়াও লক্ষণীয় যে, আমরা যদি কার্য চক্র D এর ভিন্নতার ক্ষেত্রে সর্বাধিক dv গণনা করি তবে আমরা দেখতে পাব যে D এর যে মান সর্বোচ্চ শীর্ষ থেকে শীর্ষ ভোল্টেজ তৈরি করে তা হলো D = 0.50 যা একটি 50 শতাংশ কার্য চক্র।

সমান্তরাল সার্কিট

সমান্তরাল আরসি সার্কিট সাধারণত সিরিজের সার্কিটের তুলনায় কম আগ্রহ-গ্রাহী হয়। এর মূল কারণ, আউটপুট ভোল্টেজ V_out ইনপুট ভোল্টেজ V_in এর সমান - ফলে প্রবাহ উৎস দ্বারা চালিত না হলে এই সার্কিটটি ইনপুট সিগন্যালের ফিল্টার হিসাবে কাজ করবে না।

জটিল প্রতিবন্ধকতা সহ:

\begin{matrix} I_{R} & = \frac{V_{i n}}{R} \\ I_{C} & = j ω C V_{i n} . \end{matrix}

এটি দেখায় যে ধারকের প্রবাহটি রোধক (এবং উত্স) এর প্রবাহের সাথে 90^○ ভিন্ন দশায় আছে। বিকল্পভাবে, পরিচালনকারী ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে:

\begin{matrix} I_{R} & = \frac{V_{i n}}{R} \\ I_{C} & = C \frac{d V_{i n}}{d t} . \end{matrix}

কোনও তড়িৎ উৎস দ্বারা চালিত হলে, সমান্তরাল আরসি সার্কিটের স্থানান্তর ফাংশনটি হলো:

\frac{V_{o u t}}{I_{i n}} = \frac{R}{1 + s R C} .

সংশ্লেষ

কখনও কখনও s এর প্রদত্ত মূলদ ফাংশন থেকে আরসি সার্কিট সংশ্লেষ করা প্রয়োজন হয়। প্যাসিভ উপাদানগুলিতে সংশ্লেষণ সম্ভব হওয়ার জন্য, ফাংশনটি অবশ্যই ধনাত্মক-বাস্তব ফাংশন হতে হবে । আরসি সার্কিট হিসাবে সংশ্লেষ করতে, সমস্ত ক্রান্তি ফ্রিকোয়েন্সি ( মেরু এবং শুন্য ) অবশ্যই ঋণাত্মক বাস্তব অক্ষস্থ এবং সমান সংখ্যার মেরু এবং শূন্যগুলির মধ্যে বিকল্প হতে হবে। উপরন্তু, মূলদ ফাংশনটি প্রবেশতার পরিবর্তে প্রতিবন্ধকতা উপস্থাপন করলে, মূলবিন্দুর নিকটতম ক্রান্তি ফ্রিকোয়েন্সিটি অবশ্যই একটি মেরু হতে হবে।

এলসি সার্কিট সংশ্লেষ করতে ব্যবহৃত ফস্টার সংশ্লেষ বা কাওর সংশ্লেষ এর সংশোধন করে সংশ্লেষ অর্জন করা যেতে পারে। কাওয়ার সংশ্লেষ এর ক্ষেত্রে, রোধক এবং ধারক সমূহের একটি আরোহণী নেটওয়ার্ক পাওয়া যাবে। ^[১]